какие внутренние силовые факторы в плоскости симметрии не равны нулю

5rik.ru

Материалы для учебы и работы

УЧЁТ СВОЙСВ СИММЕТРИИ ПРИ РАСКРЫТИИ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ МЕТОДОМ СИЛ

Лекция 13

Система называется симметричной, если она обладает плоскостью симметрии, и жёсткости симметричных элементов одинаковы. При расчёте таких систем оказывается возможным упростить решение задачи и снизить число искомых лишних неизвестных усилий за счёт рационального выбора основной системы.

Для примера возьмём симметричную раму, показанную на рис. 13.1,а. Рассмотрим случаи нагружения рамы симметричной и кососимметричной нагрузками.

Симметричной называют такую нагрузку, при которой внешние силы, приложенные к правой части системы, являются зеркальным отображением сил, приложенных к левой части (рис. 13.1,б).

Кососимметричной называют такую нагрузку, при которой силы, приложенные к правой половине системы, также являются зеркальным отображением сил, приложенных к левой половине, но противоположны им по знаку (рис. 13.1,в).

Аналогично можно классифицировать и внутренние силовые факторы. Напомним, что в общем случае действия сил в поперечном сечении стержня возникает шесть силовых факторов N, Q_x, Q_y, M_к, M_x, M_y. Причём внутренние силы и моменты, приложенные к правой и левой плоскостям сечения равны по величине и одинаковы по знаку. Отсюда следует, что продольная сила N и изгибающие моменты M_x, M_y являются симметричными внутренними силовыми факторами, так как представляют зеркальное отображение относительно плоскости сечения. Крутящий момент M_к и поперечные силы Q_x,_,Q_y являются кососимметричными силовыми факторами.

Покажем это на примере симметричной рамы, изображённой на рис. 13.1. Выберем для расчёта симметричную основную систему, разрезав раму по плоскости симметрии (рис. 13.2). К сторонам разреза приложим в качестве лишних неизвестных симметричные силовые факторы X₁ (изгибающие моменты), X₂ (продольные силы) и кососимметричные X₃ (поперечные силы).

Запишем систему канонических уравнений для трижды статически неопределимой рамы:

(13.1)

Происходит это потому, что в симметричной раме не возникает взаимных кососимметричных перемещений под действием симметричных нагрузок. Точно также не возникает симметричных перемещений под действием кососимметричных факторов. Сказанное становится очевидным, если для определения перемещений δ_ik применить способ Верещагина. В симметричной раме эпюра изгибающих моментов от симметричных силовых факторов будет симметричной (рис. 13.3, а, б), а от кососимметричных – кососимметричной (рис. 13.3,в)

При перемножении симметричной эпюры на кососимметричную, очевидно, получим нуль, в то время как перемножение симметричной эпюры на симметричную и кососимметричной на кососимметричную даёт результат, отличный от нуля.

Итак, вычёркивая из системы уравнений (13.1) коэффициенты, обращающиеся в нуль, получаем

(13.2)

Как видим, система канонических уравнений упростилась.

Если при этом внешняя нагрузка симметрична (эпюра M_F будет симметричной), то Δ_3F=0. Тогда из третьего уравнения системы (13.2) получаем, что кососимметричный фактор X₃=0.

Если нагрузка кососимметричная (эпюра М_F будет кососимметричной), то Δ_1F=Δ_2F=0. Тогда первые два уравнения системы (13.2) образуют однородную систему

;

,

решением которой будет X₁=X₂=0, т.е. равенство нулю симметричных силовых факторов.

Всё сказанное справедливо как для плоских, так и для пространственных стержневых систем.

Если нагрузка, приложенная к симметричной раме, не обладает ни прямой, ни косой симметрией, то её удобно разложить на симметричную и кососимметричную, как это показано, например, на рис.13.4. Задача, таким образом, распадается на две отдельные: симметричная рама с симметричной нагрузкой и рама с кососимметричной нагрузкой. Внутренние силовые факторы в заданной раме определяются в дальнейшем наложением полученных решений.

Источник

Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределенности

Пусть имеется симметричная в геометрическом смысле рама (рис. 7.6), т.е. левая часть является зеркальным отображением правой части относительно оси симметрии. При расчете таких систем решение канонических уравнений можно упростить.

Рассмотрим два случая загружения рамы: симметричной (рис. 7.6, б) и кососимметричной (рис. 7.6, в) нагрузкой. Аналогично будем классифицировать и внутренние силовые факторы. Рассекая стержень в общем случае нагружения, будем иметь шесть составляющих внутренних усилий.

Докажем следующее положение: у симметричной рамы при симметричной нагрузке обращаются в нуль, кососимметричные неизвестные, а при кососимметричной нагрузке — симметричные неизвестны.

Рассмотрим раму, изображенную на рис. 7.6. Основная система при использовании свойств симметрии должна быть обязательно симметричной. Она будет общей как при симметричном, так и кососимметричном загружении. На рисунке 7.8 показаны основная и эквивалентные системы.

Обозначая через и — кососимметричные силовые факторы, и через и симметричные, выпишем систему канонических уравнений. В данном случае их будет шесть:

Заменим теперь, что в этих уравнениях многие из коэффициентов обращаются в нуль. Это будут все коэффициенты, у которых один индекс принадлежит симметричному, а другой — кососимметричному фактору. Например, обращается в нуль коэффициент . Индекс 1 принадлежит кососимметричному фактору, а индекс 3 — симметричному фактору. Обращаются также в нуль и т.д. Сказанное становится более очевидным, если учесть, что в рассматриваемой системе эпюра изгибающих моментов от кососимметричных факторов будет кососимметричной, а от симметричных факторов — симметричной. При перемножении таких эпюр, естественно получим нуль, в то время как перемножение кососимметричной эпюры на кососимметричную и симметричной на симметричную дает результат, отличный от нуля.

Вычеркивая из системы уравнений коэффициенты, обращающиеся в нуль, получим:

Как видим, система уравнений распалась на две независимые.

Теперь положим, что внешняя нагрузка является симметричной. Из сказанных выше соображений следует, что . Первая система уравнений становится однородной. Тогда . Следовательно, при симметричной нагрузке кососимметричные силовые факторы обращаются в нуль.

При кососимметричной нагрузке . Тогда . В этом случае в плоскости симметрии обращаются в нуль симметричные силовые факторы.

Таким образом, при симметричной нагрузке кососимметричные неизвестные равны нулю, а при кососимметричной нагрузке —симметричные раны нулю. Если внешняя нагрузка не обладает свойствами симметрии, то ее всегда можно разложить на симметричную и кососимметричную, как показано на рис. 7.9.

При этом задача распадается на две, которые решаются отдельно. Окончательные эпюры получаются сложением эпюр от симметричной и кососимметричной нагрузки.

Источник

Эти уравнения называются каноническими уравнениями метода сил

Число уравнений равно степени статической неопределимости системы.

Если положить X_k=1, то δ_iXk =δ_ik следовательно δ_ik-перемещение по направлению i – го силового фактора под действием единичного фактора, заменяющего k-й фактор.

Например δ₃₄ – взаимное горизонтальное смещение точек В и С, которое возникло бы в раме, если бы к ней вместо всех сил был приложен только единичный момент в точке С, δ₄₄ – угол поворота точек В и С при действии единичного момента.

Для определения величин коэффициентов δ_ik нужно в интегралах Мора вместо внешних сил рассматривать единичную силу, заменяющую k-й фактор. Поэтому внутренние моменты и силы нужно заменить на внутренние моменты и силы от единичного k-го фактора. В итоге получим:

Коэффициенты δ_ik получаются как результат перемножения i-го и k-го внутренних единичных силовых факторов.

Величины δ_iP – перемещения в направлениях 1,2…,возникающие под действием заданных внешних сил в основной системе и определяются перемножением эпюры заданных сил на соответствующие единичные эпюры.

Использование свойств симметрии.

Если рама симметрична в геометрическом отношении, то число неизвестных силовых факторов X_i можно снизить.

Симметричная нагрузка – внешние силы, приложенные к правой части рамы, являются зеркальным отображением сил, приложенных к левой части.

Кососимметричная нагрузка – внешние силы, приложенные к правой части, также зеркальное отображение сил левой части, но противоположны им по знаку. Аналогично и внутренние силовые факторы М_x, М_y,N –симметричные,

У симметричной рамы в плоскости симметрии при симметричной внешней нагрузке обращаются в нуль кососимметричные силовые факторы, а при кососимметричной внешней нагрузке – симметричные силовые факторы.

Все эти положения имеют силу и для пространственных рам при любой степени статической неопределимости.

Если нагрузка симметричной рамы не обладает свойствами ни прямой, ни косой симметрии, ее всегда можно разложить на кососимметричную и симметричную.

В этом случае задача распадается на две – с кососимметричной и симметричной нагрузками.

Если рама обладает косой геометрической симметрией, то путем сопоставления эпюр для двух ее половин, можно получить упрощения в системе канонических уравнений. Например :

Эпюра М строится обычным способом или может быть получена наложением на эпюру моментов от заданных сил (М_Р) трех единичных эпюр, увеличенных соответственно в X₁, X₂, X₃ раза.

Пример 2. Симметричная рама нагружена кососимметричными силами. В такой раме симметричные силовые факторы равны нулю. Поэтому вместо трех уравнений получаем одно :

Эпюра М построена обычным способом.

Определение перемещений в статически неопределимых системах.

После того, как раскрыта статическая неопределимость и найдены X₁,X₂,X₃ и т.д. строятся эпюры моментов от внешних сил F и от уже известных X₁,X₂,X₃ и т.д. Далее система освобождается от всех внешних сил и к ней прикладывается единичная сила в интересующем нас направлении. Полученная единичная эпюра перемножается с суммарной эпюрой внешних заданных сил. Практически более удобно умножать единичную эпюру отдельно на эпюры от F и от X₁,X₂,X₃, а затем полученные результаты алгебраически сложить.

Пример: Раскрытие статической неопределимости построение эпюры М смотри предыдущий пример

Особенности расчета плоскопространственных и пространственных систем.

Плоскопространственные системы – системы плоские в геометрическом отношении, но нагруженные силовыми факторами, перпендикулярными к плоскости рамы. В этих системах, внутренние силовые факторы в сечениях, лежащих в плоскости рамы равны нулю. Доказательство этого аналогично свойствам прямой и косой симметрии. Поэтому решение для такой рамы аналогично решению плоской рамы.

Источник

Рациональный выбор основной системы. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости

К симметричным силовым факторам относятся изгибающие моменты M_z, M_y и нормальная сила N, так как в двух смежных сечениях они симметричны относительно плоскости разреза. К кососимметричным силовым факторам относятся перерезывающие силы Q_y, Q_z и крутящий момент M_x, поскольку они равны по величине, но противоположны по направлению относительно плоскости разреза.

Рассмотрим случаи нагружения симметричной рамы симметричной и косо-симметричной нагрузками. Под симметричной нагрузкой будем понимать такую нагрузку, при которой все внешние силы, приложенные к части рамы, лежащей по одну сторону от оси симметрии, являются зеркальным отображением сил, приложенных к другой части лежащей по другую сторону от оси симметрии. Под кососимметричной нагрузкой будем понимать такую нагрузку, при которой силы, приложенные к части рамы, лежащей по одну сторону от оси симметрии, являются зеркальным отображением сил, приложенных к другой части лежащей по другую сторону от оси симметрии, но противоположны друг другу по знаку.

Рассмотрим вначале особенности симметричных плоских стержневых систем. Вследствие полной симметрии такая система имеет симметричный вид, и после деформирования. Следовательно, перемещения симметричных сечений равны по величине и симметричны по направлению. Это означает, что в симметричных сечениях одноименные силовые факторы (а в опорных сечениях ‑ опорные реакции) равны по величине и симметричны по направлению. Таким образом, в сечении по оси симметрии возможны только симметричные силовые факторы M_z, N. Итак, основную систему для симметричной рамы надо выбирать путем удаления лишних связей в сечении по оси симметрии и следить за тем, чтобы эквивалентная система была симметричной (рис. 8.11).

Если в стержневой системе имеется стержень, лежащий вдоль оси симметрии, то основную систему надо выбирать путем удаления лишних связей в симметричных сечениях.

Рассмотрим теперь особенности кососимметричных плоских стержневых систем. Для такой системы перемещения симметричных сечений и одноименные силовые факторы в них равны по величине и обратно симметричны по направлению. Это означает, что в сечении по оси симметрии возможны только кососимметричный силовой фактор Q_y. Итак, основную систему для кососимметричной рамы также, как и для симметричной стержневой системы, надо выбирать путем удаления лишних связей в сечении по оси симметрии и следить за тем, чтобы эквивалентная система была кососимметричной (рис. 8.12).

Если нагрузка, приложенная к симметричной раме, не обладает свойствами ни прямой, ни косой симметрии, всегда имеется возможность разложить ее на кососимметричную и симметричную, как это показано, например, на рисунке 8.13.

Задача, таким образом, распадается на две. Рассматривается отдельно симметричная рама с кососимметричной нагрузкой и рама с симметричной нагрузкой. Внутренние силовые факторы в раме определяются в дальнейшем наложением полученных решений.

Источник

Выбор симметричной основной системы

Симметричная основная система – основная система, в которой неизвестные силовые факторы размещаются по оси симметрии.

В симметричной основной системе получаем основные неизвестные в виде симметричных и кососимметричных силовых факторов.

Рассмотрим некоторое произвольное сечение, в котором под воздействием внешней нагрузки возникают 6 силовых факторов (рисунок 3.22).

Рисунок 3.22 – Силовые факторы, возникающие в произвольном сечении рамы

В правой и левой плоскостях произведенного сечения силы и моменты равны, но направлены в разные стороны.

Под симметричными силовыми факторами понимают такие, которые образуют зеркальное отображение относительно плоскости сечения. Силовые факторы, каждый из которых противоположен по знаку зеркальному отображению взаимного фактора, являются кососимметричными.

Тогда, на рисунке 3.22:

, , N – симметричные силовые факторы;

, , – кососимметричные силовые факторы.

Симметричные силовые факторы дают симметричные эпюры, а кососимметричные – кососимметричные эпюры. Т.е. получаем взаимно нулевые эпюры.

Правило 1. Коэффициенты канонических уравнений , у которых один индекс принадлежит симметричному фактору, а другой – кососимметричному фактору, обращаются в нуль. И их сразу можно вычеркнуть из системы канонических уравнений.

Рассмотрим симметричную раму (рисунок 3.23, а).

Система канонических уравнений для этой рамы в общем случае нагружения будет иметь вид:

(3.24)

Симметричная основная система для рассматриваемой рамы показана на рисунке 3.23, б.

В приведенной основной системе: Х₁ – кососимметричный силовой фактор; Х₂, Х₃ – симметричные силовые факторы.

В соответствии с правилом 1: и .

Тогда, система канонических уравнений (3.24) будет иметь вид:

(3.25)

В результате система из трех уравнений распадается на две независимые системы, одна из которых относится к симметричным силовым факторам, другая – к кососимметричным. Решение двух систем проще, чем решение полной системы.

Таким образом, выбор симметричной основной системы позволяет решение системы из n уравнений с n неизвестными заменить решением двух независимых систем. Это сокращает объем вычислений.

П р и м е ч а н и я:

1 Если заданная система является симметричной, то и основную систему надо всегда выбирать симметричной.

2 Выбор симметричной основной системы позволяет получить основные неизвестные в виде симметричных и кососимметричных силовых факторов, которые дают соответственно симметричные и кососимметричные эпюры.

3 В результате обращения в нуль коэффициентов канонических уравнений с индексами, принадлежащими симметричным и кососимметричным силовым факторам, происходит распад полной системы уравнений на две независимые системы.

3.8.2 Преобразование нагрузки

При использовании способа преобразования нагрузки лишние неизвестные целесообразно располагать на оси симметрии системы.

Правило 2. Любую несимметричную нагрузку, действующую на симметричную раму, можно разложить на симметричную и кососимметричную составляющие (рисунок 3.24).

Рисунок 3.24 – Представление несимметричной нагрузки в виде суммы

симметричной и кососимметричной составляющих

Расчет выполняется отдельно на действие каждой из них. Результирующая эпюра, например, моментов получается путем алгебраического суммирования ординат двух эпюр

,

где , – окончательные эпюры изгибающих моментов от действия симметричной и кососимметричной нагрузки соответственно.

Для несимметричной нагрузки при симметричной основной системе будут верны уравнения (3.25).

Правило 3. При симметричной внешней нагрузке, действующей на симметричную раму, кососимметричные силовые факторы, ( , , ) в плоскости симметрии обращаются в нуль.

В соответствии с правилом 3: Х₁ = 0.

Тогда, уравнения (3.25) можно записать в виде

Правило 4. При кососимметричной внешней нагрузке, действующей на симметричную раму, симметричные силовые факторы ( , , N ) в плоскости симметрии обращаются в нуль.

Следовательно, уравнения (3.25) можно будет записать в виде:

.

П р и м е ч а н и е – Сущность рассмотренного способа упрощения расчета симметричной статически неопределимой системы состоит в разложении несимметричной нагрузки на симметричную и кососимметричную составляющие. Поскольку расчет на каждую составляющую нагрузки производится раздельно, то вместо одной системы уравнений с полным числом неизвестных получаем де независимые системы, одна из которых содержит только симметричные силовые факторы, другая – кососимметричные.

Правило 5. Расчет симметричной многопролетной рамы, на которую действует симметричная или кососимметричная внешняя нагрузка, можно упростить, рассматривая половину рамы – при одной оси симметрии и часть рамы – при двух осях симметрии.

В местах разреза вводятся связи, соответствующие тем силовым факторам, которые возникают в сечении.

Рассмотрим трехпролетную симметричную раму, загруженную симметричной нагрузкой (рисунок 3.25, а) и кососимметричной (рисунок 3.26, а). Рама девять раз статически неопределима.

На рисунках 3.25, б и 3.26, б приведены упрощенные расчетные схемы 1/2 части рамы для рассматриваемых вариантов нагружения.

Действие отброшенной части на оставшуюся учитывается введением соответствующих опорных закреплений (связей).

Рисунок 3.26 – Упрощение расчета симметричной рамы, загруженной

а – исходная система; б – 1/2 часть рамы; в – схема для расчета числа лишних неизвестных

На расчётной схеме 1/2 части рамы, загруженной симметричной нагрузкой (см. рисунок 3.25, б), квадратной скобкой и горизонтальным стержнем с шарнирами по концам обозначены связи, закрепляющие сечение соответственно от поворотов в вертикальной плоскости и горизонтальных перемещений, т.е. от перемещений по направлению ненулевых внутренних усилий, которые возникают в сечении по оси симметрии.

Связи, закрепляющие сечения от вертикальных перемещений, не показаны, так как поперечные силы в плоскости симметрии равны нулю (правило 3).

При действии на раму кососимметричной нагрузки в месте разреза рамы введена связь в виде вертикального стержня с шарнирами по концам, закрепляющего сечение от вертикальных смещений (см. рисунок 3.26, б). Связи, соответствующие изгибающему моменту и нормальной силе, в плоскости симметрии равны нулю (правило 4).

Степень статической неопределимости 1/2 части рамы для рассматриваемых вариантов загружения снижается соответственно до пяти и четырех.

На рисунках 3.25, в и 3.26, в приведены схемы, поясняющие расчет степени статической неопределимости 1/2 части рам, с использованием формулы (3.3). Римскими цифрами на схемах обозначены номера контуров.

Рассматриваемый способ уменьшения степени статической неопределимости системы широко используется при расчете стержневых вагонных конструкций.

П р и м е ч а н и я:

1 Симметричность конструкции в сочетании с симметричностью или кососимметричностью внешней нагрузки позволяют уменьшить степень статической неопределимости системы за счет рассмотрения 1/2 или 1/4 части конструкции.

2 При выделении 1/2 или 1/4 части конструкции действие отброшенной части на оставшуюся компенсируется введением в местах разреза связей от ненулевых силовых факторов. При действии симметричной нагрузки на оси симметрии вводятся связи от симметричных силовых факторов, при действии кососимметричной нагрузки – от кососимметричных силовых факторов.

3 Выделенная 1/2 или 1/4 части конструкции с приложенной к ней внешней нагрузкой и введенными связями, рассматривается как самостоятельная расчетная схема.

Группировка неизвестных

При расчете многопролетных симметричных рам не всегда удается разместить все неизвестные в сечениях по оси симметрии.

В этом случае для получения симметричных и кососимметричных эпюр целесообразно принимать групповые неизвестные, расположив их в различных симметрично расположенных точках.

Проиллюстрируем данный способ для двухпролетной рамы, приведенной на рисунке 3.27, а.

При традиционном способе решения основная система и единичные эпюры показаны на рисунках 3.27, б–г.

При использовании традиционного способа все побочные коэффициенты .

При использовании способа группировки неизвестных упрощение расчета обеспечивается тем, что в качестве лишних неизвестных принимают не отдельные силы, а группы сил.

Рисунок 3.27 – Традиционный способ решения системы:

а – исходная система; б – основная система; в, г – единичные эпюры моментов

П р и м е ч а н и е – Групповые неизвестные подбирают так, чтобы получающиеся от их действия эпюры были ортогональными (симметричными и кососимметричными).

Для рамы, изображенной на рисунке 3.27, а, реакции удаленных связей, которые обозначим как и , заменим эквивалентными им новыми неизвестными – парами симметричных и кососимметричных сил. Реакцию левой опоры представим суммой сил и , а реакция правой опоры – разностью этих сил (рисунок 3.28, а), т.е.

; .

П р и м е ч а н и е – Неизвестное представляет собой две симметрично расположенные силы, а – две кососимметричные силы.

Эпюры моментов от единичных групповых силовых факторов показаны на рисунках 3.28, б, в.

В результате перемножения эпюр и получаем . Это следует также из правила 1.

В результате получаем канонические уравнения с полностью разделенными неизвестными, каждое из которых содержит только по одному лишнему неизвестному

Использование групповых неизвестных значительно упрощает расчет симметричных рам с большим числом лишних неизвестных.

П р и м е ч а н и е – Сущность способа группировки неизвестных состоит в том, что в качестве неизвестных принимают не отдельные силы, а группы сил, составленные так, чтобы получающиеся от их действия эпюры были ортогональными.

Рисунок 3.28 – Упрощение расчета рамы с помощью способа группировки

а – основная система; б, в – единичные эпюры моментов

Введение жестких консолей

Этот способ применяется для рам, имеющих замкнутый контур (см. рисунки 3.1, в и 3.2, в), и позволяет получать системы канонических уравнений с полностью разделенными неизвестными

Рассмотрим систему, показанную на рисунке 3.1, в.

В случае выбора традиционной симметричной основной системы (рисунок 3.29, а) для нее будет справедлива система уравнений (3.25), в которой – кососимметричный силовой фактор, , – симметричные силовые факторы.

Тогда, побочные коэффициенты и .

В полученных уравнениях все побочные коэффициенты, кроме коэффициентов и равны нулю, т.е. .

Для получения системы уравнений с полностью разделенными неизвестными необходимо также обратить в нуль и коэффициенты с индексами, принадлежащими симметричным факторам.

Коэффициенты и являются результатом перемножения единичных эпюр и .

Для ортогонализации (обращения в нуль) этих эпюр необходимо перенести неизвестные в точку C, называемую упругим центром, с помощью жестких консолей.

П р и м е ч а н и е – При наличии у рамы одной оси симметрии упругий центр будет лежать на этой оси и надо будет определить только одну его координату z_о.

Для рамы, имеющей две оси симметрии, упругий центр будет находиться на пересечении этих осей.

Рисунок 3.29 – Упрощение расчета рамы введением жестких консолей:

а – симметричная основная система; б – основная система с введенными жесткими консолями; в, г – единичные эпюры моментов

На рисунках 3.29, б-г приведены основная система, полученная с помощью введения абсолютно жестких консолей и перемещения неизвестных силовых факторов в упругий центр, а также единичные эпюры моментов и .

Коэффициент , определяемый как результат перемножения этих эпюр, будет равен

,

где , – результат перемножения эпюр и соответственно на участках AD и BE;

, – то же на участках AB и DE.

Проанализируем результат перемножения эпюр по всем участкам рамы.

На участках AD и BE коэффициент будет равен нулю ( и ), поскольку здесь перемножаются симметричные эпюры и кососимметричные .

На участках AB и DE эпюры и одинаковы по величине, но обратны по знаку. Соответственно в результате перемножения получаем и одинаковые по величине, но с разными знаками. При суммировании они дают нуль.

Таким образом, в рассматриваемом случае эпюры и являются ортогональными.

Тогда канонические уравнения примут вид

Таким образом, при переносе неизвестных в упругий центр обращается в нуль единственное оставшееся побочное перемещение и вместо системы уравнений получается 3 независимых уравнения.

Источник