Книга «Олимпиада «Шаг в будущее 2011» Демонстрационные варианты и задания по физике и математике. «
Олимпиада «Покори Воробьевы горы»
2005 Задания. Ответы.
2006 Задания. Ответы.
2007 Задания. Ответы.
2010 11 кл. 7-8 кл. 9-10 кл.
2011 Очный тур.
2011 Отборочный тур.
2012 Очный тур.
2012 Отборочный тур.
2х41 задача по планиметрии МГУ
2х41 задача по планиметрии с решениями, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на механико-математический факультет МГУ в разные годы. Некоторые из этих задач можно найти в вариантах других ВУЗов и олимпиадах.
Турнир им. Ломоносова
Московская математическая олимпиада
26.09.10 Задания. Решения.
2010 Задания. 2011 Задания с решениями.
30.09.12. Вариант. Обсуждение.
Южно-уральская олимпиада олимпиада школьников
Всероссийская олимпиада школьников
2011 Задания. Решения. Обсуждение на форуме.
XVI Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных организаций по математике. Вариант 12.02.17. Обсуждение на форуме.
Математическое программирование.
Математический анализ.
Решение задачи линейного программирования.
Решение транспортной задачи.
Решение задачи выпуклого программирования.
Решение задачи динамического программирования.
Несколько задач на разложение функций в степенные ряды и применение степенных рядов к решению различных задач.
Контрольная работа (Институт ИНФО).
Задания на криволинейные и поверхностные интегралы, сходимость функциональных последовательностей и рядов, почленное интегрирование и дифференцирование, разложение функции в степенной ряд, сходимость несобственных интегралов, разложение в ряд Фурье, теоретические вопросы на последовательности и ряды.
Функции нескольких переменных, интегралы, кратные интегралы, дифференциальные уравнения, ряды.
Типовая контрольная работа по математическому анализу. Разнообразные примеры с иллюстрацией решения
Решение вариантов контрольных работ МАМИ
Решение расчетно-графической работы № 2 МАМИ. Две простые, но распространенные задачи на нахождение параметров плоского треугольника и пространственной пирамиды.
Решение расчетно-графической работы № 3 МАМИ. Несколько примеров на расчет пределов, производных и исследование функций. Имеется иллюстрация решений в системе Maple.
Решение расчетно-графической работы № 5 МАМИ. Задачи на дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, криволинейные и кратные интегралы.
Решение расчетно-графической работы № 6 МАМИ. Задачи на сходимость числовых рядов, интервал сходимости функциональных рядов, разложение функции в ряд Тейлора.
Пределы, производная, исследование функций, дифференциальные уравнения, ряды.
Типовая контрольная работа по математическому анализу. Разнообразные примеры с иллюстрацией решения в системе Maple.
Решение одного из вариантов контрольной работы по
мат. анализу. Несколько простеньких задачек на неопределенный и определенный интегралы и несложные дифференциальные уравнения
Эти примеры не представляли бы никакого интереса, но они настолько типовые, что могут быть полезны.
Решение варианта контрольной работы РГОТУПС.
Решение одного из вариантов контрольной работы по теории вероятностей и математической статистике для студентов РГОТУПС.
Подробно показано решение типовых задач контрольной, показаны возможности использования в решении задач компьютерных технологий на примере Excel и Maple.
Интегралы, дифференциальные уравнения, теория вероятностей.
Типовая контрольная работа по математическому анализу.
Примеры решения задач по высшей математике еще можно посмотреть в курсе лекций.
Этот раздел посвящен решению различных типов уравнений и неравенств с параметром (задания типа С5). Сюда не включаются задачи из известных книжек, решения которых размещены в разделе ЕГЭ.
Все задачи я условно разделю на три группы (А, В и С) по возрастанию сложности. Конечно, это деление достаточно субъективно.
Задача П45 ( Уровень В )
Найти все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства содержит какой-либо луч на числовой прямой?
Задача П44 ( Уровень В )
При каких значениях параметра а система имеет единственное решение?
Задача П43 ( Уровень В )
Найти все значения параметра р, при каждом из которых множество з начений функции
содержит полуинтервал (-1;3]. Определить при каждом таком р множество значений функции f(x). Решение…
Задача П42 ( Уровень В )
Найдите все значения величины х, удовлетворяющие неравенству
хотя бы при одном значении а, принадлежащем промежутку [-2;1] МГУ,мехмат 1992 Решение…
Задача П41 ( Уровень В )
имеет хотя бы одно целочисленное решение (х,у) Решение…
Задача П40 ( Уровень В )
При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение?
Задача П39 ( Уровень В )
При каких значениях а уравнение имеет хотя бы одно решение? МГУ, мехмат, 1996 год
Задача П38 ( Уровень С)
Найти все значения параметра а, при которых система имеет хотя бы одно решение. Найдите эти решения.
Задача П37 ( Уровень С )
Задача П36 ( Уровень А )
Задача П35 ( Уровень С )
Найдите все неотрицательные значения параметра а, при которых уравнение
Задача П34 ( Уровень С )
Найти все а, при которых уравнение имеет 2 корня и между этими
корнями расположен ровно один корень уравнения
МГУ мехмат 2000
Задача П33 ( Уровень В )
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сумма длин интервалов, составляющих решение неравенства не меньше 1. МГУ, мехмат 1999 г.
Задача П32 ( Уровень А )
Найти все значения параметра а, при которых неравенство не имеет решений на отрезке [-1;2]
Задача П31 ( Уровень В )
При каких значениях параметра а уравнение
Задача П30 ( Уровень В )
Найти наибольшее значение а, при котором неравенство имеет хотя бы одно решение.
Задача П29 ( Уровень А )
При каких значениях параметра b уравнение имеет единственное решение?
Задача П28 ( Уровень В )
Задача П27 ( Уровень В )
При каких значениях параметра а неравенство
и меет единственное решение? Решение…
Задача П26 ( Уровень А )
Найдите все решения уравнения для тех значений параметра k при которых уравнение имеет два корня, максимальный из которых в 3 раза больше минимального.
Задача П25 ( Уровень В )
Найдите значения все параметра р, при которых уравнение
имеет ровно 3 различных корня. Решение…
Задача П24 ( Уровень А )
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых число различных корней уравнения
равно числу различных корней уравнения Решение…
Задача П22 и П23 ( Уровень А )
Найдите значения а, при которых уравнение
имеет единственное решение
Найдите значения а, при которых уравнение имеет 3 корня.
Эти задачи я объединил потому, что в их решении используется один общий метод. Решение…
Задача П21 ( Уровень В )
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно 2 корня.
Задача П20 ( Уровень С )
Найдите все значения а, при которых каждое из уравнений и
имеет хотя бы один корень. Решение…
Задача П19 ( Уровень А )
Задача П18 ( Уровень А )
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение и меет ровно 2 корня.
Задача П17 ( Уровень А )
Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно один корень.
Задача П16 ( Уровень В )
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет шесть корней.
Задача П15 ( Уровень С )
Задача П14 ( Уровень А )
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых количество различных корней уравнения
Задача П13 ( Уровень С )
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства
является отрезком длины меньше 1. Решение…
Задача П12 ( Уровень В )
Даны два уравнения:
Значение параметра р выбирается таким образом, что число различных корней второго уравнения в сумме с числом
Задача П11 ( Уровень В )
Решение…
Задача П10 ( Уровень А )
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство не имеет решений
Задача П9 ( Уровень С )
Найдите все значения параметра а, при которых данное уравнениеимеет три решения.
Задача П8 ( Уровень А )
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых общие решения неравенств
и
содержат только одно целое число. Решение…
Задача П7 ( Уровень В )
Найдите все значения х, каждое из которых хотя бы при одном значении параметра а удовлетворяет неравенству
Задача П6 ( Уровень В )
Найдите все положительные значения параметра а, при которых область определения функции
содержит ровно два целых числа. Решение…
Задача П5 ( Уровень B )
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство
верно при всех значениях переменной х. Решение…
Задача П4 ( Уровень В )
Задача П3 ( Уровень А )
Найдите все значения переменной х, при каждом из которых неравенство верно хотя бы при одном значении параметра а из промежутка [3 ; 6]. Решение…
Задача П2 ( Уровень А )
Найти все значения параметра а, при которых выражение больше выражения
при любом значении х, принадлежащем промежутку (2, 5)
Задача П1 ( Уровень С )
Найти все значения а, при каждом из которых оба числа и
На этой странице публикуются материалы для подготовки к Единому государственному экзамену по математике 2020. Все представленные материалы получены из открытых источников и размещаются в ознакомительных целях.
НИКАКИХ «РЕАЛЬНЫХ» КИМов, НИКАКИХ «ОТВЕТОВ» ДО ОКОНЧАНИЯ ЭКЗАМЕНОВ
ЗДЕСЬ НЕТ, НЕ БЫЛО И НЕ БУДЕТ!
Генераторы вариантов ЕГЭ и ОГЭ
База задач формируется на основе Открытого Банка, тренировочных и диагностических работ, пробных и реальных вариантов ЕГЭ и ОГЭ. Имеется возможность составить вариант в версии для печати. Адаптировано под демовариант ЕГЭ 2020
Тренировочные варианты ЕГЭ
Тренировочные варианты составляются в соответствии с демовариантом и по спецификации ЕГЭ по математике 2019
Есть возможность автоматической проверки 1-12 заданий варианта
Образцы вариантов публикуются только ПОСЛЕ окончания экзамена в ознакомительных целях
Резервный день основного ЕГЭ 10 июля 2020: Образец варианта. Обсуждение.
Часть «С» вариантов последних лет.
Все задания части С ЕГЭ 201 9 С подробными официальными решениями.
Все задания части С ЕГЭ 201 8 С ответами.
Все задания части С ЕГЭ 201 7 С ответами.
Все задания части С ЕГЭ 201 6 С подробными официальными решениями.
Все задания части С ЕГЭ 2015 С подробными официальными решениями.
Все задания части С ЕГЭ 2014 С подробными официальными решениями.
Все задания части С ЕГЭ 2013 С подробными официальными решениями.
Все задания части С ЕГЭ 2012 С подробными официальными решениями.
а также различные пробные варианты ЕГЭ
МИО O (Статград) : Тексты вариантов диагностических работ не публикуются. Только обсуждения решений.
Найдите все значения a, при каждом из которых любое число x из отрезка [3; 4] является решением уравнения
Если то уравнение решений не имеет.
Пусть a = −3. Тогда уравнение имеет вид и ни одно число из отрезка [3; 4] не является его решением.
Пусть a > −3. Запишем уравнение в виде
При a > −3 верно неравенство и поэтому решением уравнения является любое число из отрезка поскольку длина этого отрезка равна и уравнению удовлетворяют те и только те точки х, сумма расстояний от каждой из которых до точек и равна
Осталось выбрать те значения а, при каждом из которых отрезок содержит отрезок [3; 4]. Это выполнено тогда и только тогда, когда
Ответ:
Аналоги к заданию № 526595: 526603 Все
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет семь или восемь решений.
Сделаем замену Рассмотрим уравнение Построим эскиз графика Функция обладает свойством: при всех x, причём
Следовательно, если уравнение имеет два таких решения, что одно равно 4, а второе принадлежит интервалу (0; 4), то исходное уравнение имеет ровно семь решений. Если же оба корня исследуемого уравнения принадлежат интервалу (0; 4), то исходное уравнение имеет ровно восемь решений.
Заметим, что это уравнение имеет два решения: при любом значении а. При эти решения совпадают. Отсюда следует, что условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда
Ответ:
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет или семь, или восемь решений.
Сделаем замену Рассмотрим уравнение Построим эскиз графика Функция обладает свойством: при всех x, причём
Следовательно, если уравнение имеет два таких решения, что одно равно 4, а второе принадлежит интервалу (0; 4), то исходное уравнение имеет ровно семь решений. Если же оба корня исследуемого уравнения принадлежат интервалу (0; 4), то исходное уравнение имеет ровно восемь решений.
Заметим, что это уравнение имеет два решения: при любом значении а. При эти решения совпадают. Отсюда следует, что условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда
Ответ:
Аналоги к заданию № 556619: 556626 Все
Найдите все значения а, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Преобразуем первое уравнение системы:
Эти условия задают «верхнюю» полуокружность с центром в точке (−1; −1) радиуса 3. Преобразуем второе уравнение системы:
Эти условия задают «верхнюю» полуокружность с центром в точке (а; а) радиуса 3. Полуокружности, определяемые уравнениями системы, изображены на рисунке 1, обозначим полуокружности через F и Fa, а их центры — О и Оа.
Данная в условии система имеет единственное решение, если полуокружности F и Fa имеют единственную общую точку. Поэтому это необходимо исследовать при различных значения параметра а. Две «верхние» полуокружности одинакового радиуса либо не имеют общих точек, либо имеют ровно одну общую точку, либо совпадают.
При a = −1 полуокружности F и Fa совпадают, т. е. a = −1 не является искомым.
При a > −1, т. е. точка Оа расположена выше точки О. В этом случае полуокружности F и Fa имеют общую точку, если диаметр BC полуокружности Fa имеет общую точку с полуокружностью F. Крайнее положение диаметра BC, при котором он ещё имеет общую точку c полуокружностью F, является положение на рисунке 2, при этом точка Оа имеет координаты (2; 2), т. е. a = 2. При a > 2 полуокружности F и Fa не имеют общих точек. Таким образом, все значения являются искомыми.
При a Ответ:
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Произведём замену переменной получим:
При t ≥ 0 функция g(t) убывает, принимая все значения от до При t
1) При a ≥ 0 получаем
решений нет.
Ответ:
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три различных решения.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим три случая.
1) Если то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке Q(0; 1) и радиусом 1.
2) Если то координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению.
3) Если то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом 2.
Таким образом, в первом случае получаем дугу окружности с концами в точках O и A(0; 2), во втором — прямую l, задаваемую уравнением x = 0, в третьем — дугу окружности с концами в точках A и B(0; −2) (см. рисунок).
Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении a оно задаёт прямую m, параллельно прямой y = x или совпадающую с ней.
Прямые m проходят через точки B, O и A при и соответственно.
При и прямые m касаются дуг и соответственно.
Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении a, имеет одну общую точку с дугой при и имеет две общие точки с дугой при имеет одну общую точку с дугой при и имеет две общие точки с дугой при
Число решений исходной системы равно числу точек пересечений прямой l и дуг и с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при
Ответ:
В дано написано найдите 3 решения
Решение соответствует заданному вопросу. Читайте внимательнее
Было бы замечательно, если бы в решении было уточнено, как находились значения параметра а=2√2 и а=1-√2
Вы можете найти их любым доступным Вам путём, хоть через производную, хоть через формулу расстояния от точки до прямой, хоть из геометрических соображений. (есть и другие варианты)
Можете написать, как именно называется способ нахождения через производную? Ничего не могу найти в интернете
при а=2 три решения и эта точка тоже должна быть включена в ответ.
при а=2 два решения: х=-2; х=0
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три различных решения.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим три случая.
1) Если то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке Q(0; 1) и радиусом 1.
2) Если то координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению.
3) Если то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом 2.
Таким образом, в первом случае получаем дугу окружности с концами в точках O и A(0; 2), во втором — прямую l, задаваемую уравнением x = 0, в третьем — дугу окружности с концами в точках A и B(0; −2) (см. рисунок).
Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении a оно задаёт прямую m, параллельно прямой y = x или совпадающую с ней.
Прямые m проходят через точки B, O и A при и соответственно.
При и прямые m касаются дуг и соответственно.
Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении a, имеет одну общую точку с дугой при или имеет две общие точки с дугой при имеет одну общую точку с дугой при или имеет две общие точки с дугой при
Число решений исходной системы равно числу точек пересечений прямой l и дуг и с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при
Ответ:
Аналоги к заданию № 514524: 514740 514552 514559 Все
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три различных решения.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим три случая.
1) Если то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке Q(0; 2) и радиусом 2.
2) Если то координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению.
3) Если то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом 4.
Таким образом, в первом случае получаем дугу окружности с концами в точках O и A(0; 4), во втором — прямую l, задаваемую уравнением x = 0, в третьем — дугу окружности с концами в точках A и B(0; −4) (см. рисунок).
Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении a оно задаёт прямую m, параллельно прямой y = x или совпадающую с ней.
Прямые m проходят через точки B, O и A при и соответственно.
При и прямые m касаются дуг и соответственно.
Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении a, имеет одну общую точку с дугой при и имеет две общие точки с дугой при имеет одну общую точку с дугой при и имеет две общие точки с дугой при
Число решений исходной системы равно числу точек пересечений прямой l и дуг и с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при
Ответ:
Аналоги к заданию № 514524: 514740 514552 514559 Все
имеет 2 корня и между этими
МГУ мехмат 2000
не имеет решений на отрезке [-1;2]
для тех значений параметра k при которых уравнение имеет два корня, максимальный из которых в 3 раза больше минимального.
Решение…
имеет 3 корня.
имеет ровно 2 корня.
и 
Решение…
и 
верно хотя бы при одном значении параметра а из промежутка [3 ; 6]. Решение…
больше выражения 
и 
то уравнение решений не имеет.
и ни одно число из отрезка [3; 4] не является его решением.
и поэтому решением уравнения является любое число из отрезка 
поскольку длина этого отрезка равна 
и уравнению удовлетворяют те и только те точки х, сумма расстояний от каждой из которых до точек 
и 
равна 
содержит отрезок [3; 4]. Это выполнено тогда и только тогда, когда
Рассмотрим уравнение 
Построим эскиз графика 
Функция 
обладает свойством: 
при всех x, причём 
имеет два таких решения, что одно равно 4, а второе принадлежит интервалу (0; 4), то исходное уравнение имеет ровно семь решений. Если же оба корня исследуемого уравнения принадлежат интервалу (0; 4), то исходное уравнение имеет ровно восемь решений.
при любом значении а. При 
эти решения совпадают. Отсюда следует, что условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда
Рассмотрим уравнение 
Построим эскиз графика 
Функция 
обладает свойством: 
при всех x, причём 
имеет два таких решения, что одно равно 4, а второе принадлежит интервалу (0; 4), то исходное уравнение имеет ровно семь решений. Если же оба корня исследуемого уравнения принадлежат интервалу (0; 4), то исходное уравнение имеет ровно восемь решений.
при любом значении а. При 
эти решения совпадают. Отсюда следует, что условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда
являются искомыми.
получим:
до 
При t
решений нет.
то получаем уравнение
то координаты любой точки прямой 
удовлетворяют уравнению.
то получаем уравнение
окружности 
с концами в точках O и A(0; 2), во втором — прямую l, задаваемую уравнением x = 0, в третьем — дугу 
окружности 
с концами в точках A и B(0; −2) (см. рисунок).
и 
соответственно.
и 
прямые m касаются дуг 
имеет две общие точки с дугой 
имеет одну общую точку с дугой 
и 
имеет две общие точки с дугой 
с концами в точках O и A(0; 4), во втором — прямую l, задаваемую уравнением x = 0, в третьем — дугу 
с концами в точках A и B(0; −4) (см. рисунок).
и 
соответственно.
и 
прямые m касаются дуг 
имеет две общие точки с дугой 
имеет одну общую точку с дугой 
и 
имеет две общие точки с дугой 
