Математика задачи с параметром 9 класс

Решение задач с параметрами в курсе алгебры. 7–9-е классы

Разделы: Математика

В курсе алгебры 7 класса в параграфе «Линейное уравнение с одной переменной» следует разобрать решение уравнения ах = в с неизвестным х как уравнение параметрами а и в. Здесь учащихся следует познакомить с понятием «параметры» (те переменные а, в, с, :, которые при решении уравнения считаются постоянными, или те коэффициенты, которые заданы не конкретными числами, а обозначены буквами).

На уроках обобщения, следующих за этим параграфом возможно разобрать решение линейного уравнения ах + в = с с неизвестным х и параметрами а, в, с.

В течение учебного года можно предлагать для решения задания следующего типа.

Знакомить учащихся с решением систем линейных уравнений с параметрами следует начинать после изучения параграфа «Системы линейных уравнений с двумя переменными», котором разбирается графический способ решения систем линейных уравнений.

Предлагаются следующие задания.

Подобрать значения параметров а и в, чтобы:

а) система имела единственное решение;

б) система не имела решений

1) 2) 3) 4) 5)

Работая с последней системой, следует подробнее разобрать ответы на поставленные вопросы.

Решение. 1) если , то система примет вид

если т.е. система имеет единственное решение;

если = и т.е. и система не имеет решения;

2) если система примет вид и имеет единственное решение.

Ответ: если система имеет единственное решение;

если , , то система не имеет решения.

Решите систему уравнений с параметрами к и р, если :

1) 2)

Решение первой системы получается из знания взаимного расположения графиков линейных функций ( Ответ: (0;3)), решение второй системы предполагает умение решать системы линейных уравнений аналитическим методом.

При всех значениях параметра а решить систему уравнений

1) если , т.е. , то данная система равносильна

Решите систему уравнений с двумя неизвестными х и у:

3) Ответ: при , то х=а-1, у=а;

Задачи с параметрами для решения в 8 классе предполагают знания по теме «Квадратные уравнения», «Дробные рациональные уравнения», «Неравенства».

Задачи с параметрами, дополняющие список задач из учебника к теме «Квадратные уравнения».

Найдите к и второй корень уравнения:

Найдите все числа р и с такие, что корни уравнения х 2 + рх + с =0, равны р и с.

Решите уравнение ах 2 =1.

Задания с параметрами, предлагаемые для выполнения после изучения темы «Неравенства».

1. Найдите все значения параметра а, для которых квадратное уравнение (а+1)х 2 + 2(а+1)х+а-2=0 а) имеет два различных корня;

в) имеет два равных корня.

3. Решите уравнение ах 2 + 2х + 1 = 0.

а) имеет два различных корня;

5. Найдите все значения параметра а, для которых уравнение имеет единственный корень

б) ах 2 + (4а+2)х + 3а + 3/2 = 0.

После изучения главы I «Рациональные дроби» можно предлагать учащимся решать более сложные системы линейных уравнений с параметрами.

1. При всех значениях параметров а и в решить систему

1) 2) 3) 4) 5) 6)

если , , то ;

Ответ: если , то (; )

В 9 классе представляется целесообразным после изучения главы I «Квадратичная функция» вернуться к решению уравнений второй степени с параметрами, предлагая учащимся для решения задания следующего типа.

1. Решите квадратные уравнения.

2) ах 2 + (а + 1)х +а 2 +а = 0;

3) ах 2 + 2х(а + 1) + а +3 = 0;

2. Найдите все значения а, при которых уравнение имеет хотя бы один корень.

4. Найдите все значения в, при которых уравнение имеет два различных корня.

В конце учебного года в 9 классе на уроках «Повторение:» нужно познакомить учащихся с графическим методом решения уравнений 2-ой степени с параметрами, научить распознавать положение параболы на плоскости в зависимости от коэффициентов.

Для этого необходимо напомнить:

Знак коэффициента а показывает направление ветвей параболы;

Указанные свойства парабол позволяют получить следующие факты, касающиеся расположения корней квадратного трехчлена на числовой оси.

1. Корни квадратного трехчлена х₁ и х₂ (f(х) = ах 2 +вх+с) будут строго меньше числа М, если выполняются следующие условия (очевидные, благодаря рисунку).

2. Если М I R, то х₁ 0

a>0, f(M) 2 +вх+с принадлежат интервалу(М;N), если и только если выполняются условия:

Задания, соответствующие другим случаям расположения корней квадратного трехчлена (оба корня больше некоторого числа М; если отрезок [М; N] целиком лежит на интервале (х₁;х₂) и другие) решаются, следуя аналогичным требованиям, проиллюстрированным на рисунке, который отвечает конкретному заданию.

.

Ответ: .

3. При каких значениях а один корень уравнения ах 2 +х +1 = 0 больше 2, а другой меньше 2?

Ответ: .

Ответ: .

Ответ: таких а не существует.

Ответ: .

Ответ: .

Ответ: .

Источник

Задачи с параметром для подготовки учащихся к ГИА в 9 классе

Новые аудиокурсы повышения квалификации для педагогов

Слушайте учебный материал в удобное для Вас время в любом месте

откроется в новом окне

Выдаем Удостоверение установленного образца:

Задачи с параметрами из сборника

«Алгебра-9 класс, итоговая аттестация (в новой форме)»

(под редакцией Ф.Ф.Лысенко), 2004 г.

Все рассматриваемые задачи расположены в сборнике под № 5 в части 2.

Выясним, при каких значениях m окружность и прямая имеют общие точки, решив систему:

х 2 +у 2 =10,

у =10- m х,

m є (-∞;-3][3;+∞)

Тогда уравнение, а значит и система, не имеет решений при m є (-3; 3)

Вершина параболы будет лежать «выше» прямой у=х, если у _в >х _{в .}

х _в = ; у _в = = = = ( 8 — a 2 )

Парабола и прямая имеют единственную общую точку, если система y = x 2 — x +1,

x + my -1=0 имеет единственное решение.

Выясним, при каких m это возможно:

x=1-my,

Преобразуем второе уравнение системы:

m 2 y 2 – (1+ m ) y +1=0.

Очевидно, что рассматриваемая система имеет единственное решение, если полученное квадратное уравнение имеет единственное решение.

Если m =0, то уравнение примет вид: у+1=0, которое имеет единственное решение и условие задачи выполняется.

Если m ≠ 0, то квадратное уравнение имеет 1 решение, если его D =0

m =1; m = .

ОТВЕТ: ; 0; 1.

При каких a наименьшее значение функции у=х 2 -2ах+43 на [-2;+∞) равно 7.

Ветви параболы у=х 2 -2ах+43 направлены вверх, значит свое наименьшее значение функция достигает в точке х _в

х _в = = а

По условию х є [-2;+∞), значит возможны 2 случая:

При каких а число 3 заключено между корнями уравнения х 2 -2ах+а 2 -1=0?

Ветви параболы у=х 2 -2ах+а 2 -1 направлены вверх.

Т.к. по условию корни уравнения находятся по разные стороны от числа 3, то нули параболы также находятся по разные стороны от 3. Тогда:

1) уравнение имеет 2 корня, т.е. D > 0;

Итак, 4а 2 -4(а 2 -1)>0,

4а 2 -4а 2 +4>0,

При каких а оба корня уравнения х 2 -6ах+9а 2 -2а+2=0 больше 3?

Ветви параболы у=х 2 -6ах+9а 2 -2а+2 направлены вверх, а нули функции по условию должны быть больше 3. Тогда:

Уравнение имеет 2 корня, т.е. D >0;

Итак, 36а 2 -4(9а 2 -2а+2) >0 ,

9-18а+9а 2 -2а+2 >0 ;

а>1,

9(а-1)(а- )>0;

а> , т.е. а> .

ОТВЕТ: (1; +∞).

При каких значениях m вершина параболы у= mx 2 -7 x +4 m лежит во второй четверти?

х _в = ; у _в =

По условию вершина параболы лежит во II четверти, значит

х _в

у _в >0,т.е.

>0 ;

m є ( ;0)

При каких целых значениях параметра с уравнение + = с имеет хотя бы один корень?

Возведем обе части уравнения в квадрат:

х-2+7-х+2= с 2 ,

с ≥ ;

Уравнение (*) имеет хотя бы один корень, если D ≥ 0, значит

с ≥ ;

(-с)(+с) ≥ 0,

с ≥ ;

—

— С

Итак, с є [; ], целые значения: с = 3

Найдите все значения а, при которых точка пересечения прямых 3х+ау+1=0 и 2х-3у-4=0 находится в третьей координатной четверти.

Пусть (х ₀ ;у ₀ )- точка пересечения прямых, причем по условию х _{0 0}

Найдем координаты точки пересечения прямых из системы:

х=1,5у+2,

х=1,5у +2,

Определите уравнение касательных к окружности х 2 + у 2 =5, проходящих через точку М(3;1).

Пусть уравнение касательной у = кх+в.

Тогда уравнение касательной имеет вид: у=кх+(1-3к)

Очевидно, что касательная с окружностью имеет одну общую точку, значит система

имеет единственное решение.

Т.к. 1+к 2 ≠ 0, то данное уравнение является квадратным, и имеет единственное решение, если D = 0

Итак, при к = 2 у = 2х+1-6 или у =2х-5;

Найдите все значения а, при которых множество значений функции

Т.к. ветви параболы направлены вверх, то множеством значений функции является промежуток [у _{в ;} +∞), значит у _в =1,5.

Найдем а из уравнения:

у=ах 2 +2х-а+2 пересекает ось Ох в одной точке.

1)Если а =0, то у=2х+2 —линейная функции, графиком которой является прямая, пересекающая ось Ох в одной точке, т.к. к=2≠0

Найдите все значения параметра а, при которых точка пересечения прямых у=2х+3 и у=2а-3х лежит выше прямой у = х.

Найдем абсциссу точки пересечения графиков из уравнения:

Тогда ордината точки пересечения графиков равна:

По условию точка (х ₀ ;у ₀ ) должна лежать выше прямой у = х, значит у ₀ >х ₀

Найдите все значения параметра а, при которых точки А(1; 2), В(3; а +1), С( а; 4) лежат на одной прямой.

Пусть точки А, В, С лежат на прямой у = кх+в,

тогда координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой:

2=к•1+в,

к+в=2,

в=2-к,

в=2-к,

в=2-к,

в=2-к,

к=±1,

Задачи для самостоятельного решения.

у = х 2 +ах-2 лежит ниже прямой у = 2х

Найдите все значения m , при которых парабола у=х 2 +х+1 имеет с прямой m у-х-1=0 одну единственную общую точку.

При каких целых значениях параметра с уравнение

2(√х+3)+(√11-4х) = с имеет хотя бы один корень?

Источник