На рисунке изображена прямая заданная уравнением y kx b параметры k b удовлетворяют условиям

Задания ОГЭ на анализ графиков
Часть I

Узнайте, как можно поддержать сайт и помочь его развитию.

Изученные функции и их графики.

К концу учебного года в 9-ом классе вы успели изучить следующие функции:

Ещё подробнее повторить графики функций вы сможете, если перейдёте к сводной таблице и воспользуетесь помещенными там ссылками на другие статьи сайта и видео на youtube-канале Mathematichka.

Задания на соответствие графика и формулы функции.

Задачи, в которых приведены графики функций разных типов, я считаю самыми лёгкими в этом задании. Давайте рассмотрим несколько примеров, и вы в этом убедитесь.

Задача 1. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают

На рисунке всего один график прямая линия. Ищем среди формул ту, которая содержит \(x\) только в первой степени. Смотрим, чтобы в этой формуле не было квадрата и переменной в знаменателе. Такая формула только одна, это формула \(3)\; y=-2x\). Делаем вывод: графику Б) соответствует формула 3).

Среди формул только одна содержит \(x^2\) (формула 4), и только один график непрерывная кривая линия симметричная относительно вертикальной прямой, проведенной через её вершину. Это парабола – график В). Вывод: графику В) соответствует формула 4).

Ответ:

Ответы и решения некоторых задач временно скрыты. Это задачи для самостоятельного решения. Чтобы посмотреть ответы, воспользуйтесь соответствующими кнопками. Но предварительно попробуйте решить задачу самостоятельно.

Задача 2. Установите соответствие между функциями и их графиками.

На графике 1) линия с разрывом, следовательно в формуле есть \(x\) в знаменателе. Вывод: графику 1) соответствует формула А).

На графике 2) изображена прямая линия. Осталась только одна формула, где \(x\) в первой степени умножен на число \(\dfrac<3x> <2>= \dfrac<3><2>\cdot x\). Вывод: графику 2) соответствует формула В).

Два оставшихся графика нелинейны, т.е. кривые линии. Формула Б) представляет собой квадратный трёхчлен. Следовательно, график должен быть параболой. Мы знаем, что парабола симметрична относительно линии, проходящей через вершину. График 3) обладает этим свойством, а на графике 4) такую линию провести невозможно. Вывод: формула Б) соответствует графику 3).

Замечение. Проверку ответа можно сделать «по единичке», т.е. задать какое-либо значение \(x\), подставить его в формулы, вычислить значения \(y\) и найти соответствующие точки на графике. Но решить задание в буквальном смысле по единичке, т.е. подставить \(x = 1\) в формулу Б), а затем найти на графиках 3) и 4) ординаты точек с абсциссой 1, не получится. Потому что во всех случаях будет \(y = 2\). Выбор не состоится.

Ответ:

Задача 3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Координатные плоскости здесь представлены без клеточек. Проверить принадлежность точек не получится, выбираем только по внешнему виду графиков.

Прямая линия олна – А). Её формула 1) содержит просто \(x\).
Симметричная кривая на графике В) – парабола. Формула 2) содержит \(x^2\).
На среднем графике кривая линия похожа на перевёрнутую половинку параболы. Это график функции 3) квадратный корень.

Ответ:

Линейная функция. Прямая линия.

Задача 4. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Все графики – прямые линии и все формулы имеют вид \(y = kx + b\). Выбираем по наклону к оси \(Ox\) и точке пересечения с осью \(Oy\).

На графике В) прямая никак не наклонена к оси \(Ox\), она ей параллельна. Следовательно, угол наклона равен 0, тангенс угла наклона равен 0, угловой коэффициент \(k=0\), и \(y = kx + b = 0\cdot x + b = 0 + b = b.\) Таким образом, формула, которая задаёт прямую, параллельную оси абсцисс, не должна содержать \(x\). Здесь такая формула под номером 3.

В двух оставшихся графиках наклон на глаз кажется примерно одинаковым. Поэтому начнём с точки пересечения с с осью \(Oy\). Вспомним, что для точек, расположенных на этой оси, \(x=0\), поэтому \(y = kx + b = k\cdot0 + b = 0 + b = b.\) Таким образом, высота точки пересечения графика с этой осью показывает значение коэффициента \(b\) в формуле функции. На первом графике пересечение при \(y=2\), подходит формула \(2)\; y = x+2.\) На втором – при \(y=0\), подходит формула \(1)\; y = 2x,\) так как \(2x = 2x+0.\)

Сделаем проверку по единичке для графиков А) и Б).
При \(x=1\) по формуле 2) получим \(y = 1 + 2 = 3\). Если мы правильно установили соответствие, то точка с координатами (1;3) должна лежать на графике А).
При \(x=1\) по формуле 1) получим \(y = 2\cdot1 =2\). Если мы правильно установили соответствие, то точка с координатами (1;2) должна лежать на графике Б).
Отметим эти точки на указанных графиках. Точки «не промахнулись», значит задача решена верно.

Ответ:

Итак, все графики, которые задаются формулой \(y = b\), т.е. формулой, содержащей \(y\) и число, но не содержащей \(x\), представляют собой прямые линии, параллельные оси \(Ox\). Все графики, которые задаются формулой \(y = kx\), т.е. формулой, содержащей \(x\) в виде одночлена первой степени, представляют собой прямые линии, проходящие через начало координат. Эти выводы нужно запомнить на будущее не только, чтобы быстрее решать это задание ОГЭ, но и для задания на графики во второй части экзаменационного варианта.

Задача 5. Установите соответствие между функциями и их графиками.

Прямые на графиках 1) и 2) имеют одинаковый наклон. Одинаковый угловой коэффициент \(k = 2\) мы видим в формулах Б) и В). Методом исключения делаем вывод, что для графика 3) остаётся формула А).

Ответ:

Задача 6. На рисунке изображены графики функций вида \(y = kx+b.\) Установите соответствие между графиками линейных функций и угловыми коэффициентами прямых.

Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к оси \(Ox.\) На данный момент мы знаем, что тангенс определён в прямоугольном треугольнике, как отношение противолежащего катета к прилежащему. Поэтому, прежде всего, надо начертить прямоугольные треугольники такие, что их гипотенузы лежат на заданных прямых, а катеты проходят по клеточкам. Вершины этих треугольников обязательно должны находиться в узлах клеточек, иначе будет трудно определить длины катетов. Размер треугольника может быть произвольным, «приклеить» его к прямой можно в любом удобном месте.

Угол наклона прямой по определению отсчитывается от положительного направления оси абсцисс (оси \(Ox\)), поэтому в наших треугольниках противолежащий катет всегда параллелен оси \(Oy\) (считаем клеточки по вертикали), а прилежащий – оси \(Ox\) (считаем клеточки по горизонтали).
Если прямая образует с положительным направлением оси абсцисс тупой угол, то угловой коэффициент будет со знаком минус. Поскольку линии клеток параллельны, то можно смотреть угол между прямой и правой частью горизонтальных линий сетки, как показано на рисунке.

Итак, вычисляем угловые коэффициенты по чертежу

Ответ:

На эту тему также можно посмотреть видеоуроки на странице Линейная функция или на youtube-канале Mathematichka.

Источник

График линейной функции, его свойства и формулы

Понятие функции

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».

Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».

Свойства линейной функции

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1 /₃x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Источник

Задание №11 ОГЭ по математике

В 11-ом задании ОГЭ по математике идет работа с графиками функций. В большинстве случаев требуется установить соответствие между графиком функции и математическим выражением (формулой). В задании сопоставляется различная информация о функциях. Необходимо находить и использовать в выполнении задания область определения функции, ее промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, нули функции, уметь читать графики функций. Работать надо с функциями, описывающими прямую пропорциональную зависимость, линейными функциями, гиперболами, квадратичными функциями.

Хотя на самом экзамене мы ожидаем работу именно с графиками функций, тем не менее в некоторых заданиях дается вместо рисунков их описание. Это делается, чтобы подчеркнуть те детали, на которые надо обратить внимание при работе с графиками функций.

Задание 11 несложное, тем не менее последние задания придуманы таким образом, чтобы любознательным школьникам было над чем подумать.

Ответом в задании 10 является набор цифр, описывающий соответствие между различными объектами.

Теория к заданию №11

Так как в данном задании речь идет о функциях и их графиках, приведем основные понятия и формулы.

На произвольном примере ознакомимся с исследованием функции:

Теперь рассмотрим данный материал на линейной функции:

y = kx + b

где k – угловой коэффициент, b – свободный член

Рассмотрим случай квадратичной функции:

Также вспомним, что такое коренная функция и модуль:

Я разобрал три случая — случай с параболой и влияние коэффициентов на вид параболы — в первом примере. Во втором примере разобрана гипербола и общие закономерности зависимости общего вида графика от математического выражения. Третий случай рассматривает прямую и варианты её построения в зависимости от коэффициентов.

Разбор типовых вариантов задания №11 ОГЭ по математике

Первый вариант задания (параболы)

На рисунках изображены графики функций вида

Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

В) a > 0, c 0, то ветви направлены вверх, а если a 0.

Далее мы смотрим, на что влияет коэффициент c.

Коэффициент c отвечает за положение параболы относительно оси x, или же отвечает за сдвиг по оси y, а именно:

если c > 0, то вершина параболы расположена выше оси х

Из всего вышеперечисленного можно найти ответ:

Второй вариант задания (гиперболы)

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Решение:

В данной ситуации можно воспользоваться двумя подходами — можно руководствоваться общими соображениями, а можно просто решить задачу подстановкой. Я рекомендую решать задачу общими соображениями, а проверять подстановкой.

Таким образом можно сразу определить, что первое уравнение соответствует графику под номером 2.

Второе правило, которым я пользуюсь, звучит так:

Следовательно, функция Б слабее прижимается к осям и ей соответствует график 3, а функции В соответствует график 1, так как она сильнее прижимается к осям.

Третий вариант задания (линейный график)

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Источник

Линейная функция (страница 3)

График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

1) \(y=-\dfrac32x+1\qquad\) 2) \(y=-\dfrac32x-1\qquad \) 3) \(y=\dfrac32x-1\qquad \) 4) \(y=\dfrac32x+1\)

Способ 1.

Способ 2.

График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

1) \(y=-\dfrac32x+1\qquad\) 2) \(y=-\dfrac32x-1\qquad \) 3) \(y=\dfrac32x-1\qquad \) 4) \(y=\dfrac32x+1\)

Способ 1.

Способ 2.

Способ 1.

Способ 2.

Способ 1.

Способ 2.

Способ 1.

Способ 2.

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ФОРМУЛЫ:

1) \(y=-\dfrac35x\qquad \) 2) \(y=-\dfrac53x\qquad \) 3) \(y=\dfrac35x\)

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ответ: \(\begin <|c|c|c|>\hline \text <А>& \text <Б>& \text <В>\\ \hline && \\ \hline \end\)

Способ 1.

Прямая в пункте Б “наклонена вправо” относительно вертикального положения, следовательно, в ее уравнении коэффициент перед \(x\) положительный. Следовательно, Б – 3.
Прямые А,В “наклонены влево” относительно вертикального положения, следовательно, в их уравнениях коэффициенты перед \(x\) отрицательные (значит, все верно, так как у нас остались формулы 1 и 2 с отрицательными коэффициентами перед \(x\) ).

Значит, \(\begin <|c|c|c|>\hline \text <А>& \text <Б>& \text <В>\\ \hline 2&3&1 \\ \hline \end\)

В ответ запишем 231.

Источник

На рисунке изображена прямая заданная уравнением y kx b параметры k b удовлетворяют условиям

На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c. Для каждого графика укажите соответствующее ему значения коэффициента a и дискриминанта D.

4) a 0 уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет два корня, то есть график функции y = ax 2 + bx + c имеет два пересечения с осью абсцисс. Если D Ответ: 1243.

На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + c. Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов a и c.