Найдите все значения параметра b при которых уравнение 8sin3x

07.07.202218.07.2022 admin 0 Comments

Задачи с параметром из ЕГЭ прошлых лет (страница 2)

имеет ровно один корень.

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Уравнение можно переписать в виде: \[\sqrt<5x-3>\cdot \left( \ln(3x-a)-\ln (4x+a)\right)=0\] Следовательно, уравнение может иметь корни на \([0;1]\) :

1) \(x_1=\frac35\) (уже лежит в \([0;1]\) ), если он удовлетворяет \(3x-a>0\) и \(4x+a>0\) : \[\begin \dfrac95-a>0\\[2ex] \dfrac<12>5+a>0\end\quad\Leftrightarrow\quad a\in \left(-\dfrac<12>5;\dfrac95\right)\]

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Таким образом, искомые \(a\) : \[a\in (-\infty;0)\cup\left[\dfrac<\pi>4;\pi\right]\]

(ЕГЭ 2017, основная волна)

(ЕГЭ 2017, досрочная волна, резерв)

1 способ. Алгебраический

Заметим, что при \(|a|>4\) первое неравенство системы не будет иметь решений (так как тогда \(|x|\) должен быть не больше отрицательного числа), следовательно, и вся система не будет иметь решений.
При \(|a|=4\) решением первого неравенства будет \(x=0\) ( \(\in [-1;0]\) ). Заметим, что пара \(x=0\) и \(a=4\) является решением второго неравенства, пара \(x=0\) и \(a=-4\) – нет.
Следовательно, \(a=4\) – подходит.

Тогда окончательный ответ для \(a\) : \[a\in (8-8\sqrt2;4]\]

2 способ. Геометрический

Источник

Найдите все значения параметра b при которых уравнение 8sin3x

Найдите все значения a, при каждом из которых любое число x из отрезка [3; 4] является решением уравнения

Если то уравнение решений не имеет.

Пусть a = −3. Тогда уравнение имеет вид и ни одно число из отрезка [3; 4] не является его решением.

Пусть a > −3. Запишем уравнение в виде

При a > −3 верно неравенство и поэтому решением уравнения является любое число из отрезка поскольку длина этого отрезка равна и уравнению удовлетворяют те и только те точки х, сумма расстояний от каждой из которых до точек и равна

Осталось выбрать те значения а, при каждом из которых отрезок содержит отрезок [3; 4]. Это выполнено тогда и только тогда, когда

Ответ:

Аналоги к заданию № 526595: 526603 Все

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет семь или восемь решений.

Сделаем замену Рассмотрим уравнение Построим эскиз графика Функция обладает свойством: при всех x, причём

Следовательно, если уравнение имеет два таких решения, что одно равно 4, а второе принадлежит интервалу (0; 4), то исходное уравнение имеет ровно семь решений. Если же оба корня исследуемого уравнения принадлежат интервалу (0; 4), то исходное уравнение имеет ровно восемь решений.

Заметим, что это уравнение имеет два решения: при любом значении а. При эти решения совпадают. Отсюда следует, что условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда

Ответ:

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет или семь, или восемь решений.

Сделаем замену Рассмотрим уравнение Построим эскиз графика Функция обладает свойством: при всех x, причём

Ответ:

Аналоги к заданию № 556619: 556626 Все

Найдите все значения а, при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Преобразуем первое уравнение системы:

Эти условия задают «верхнюю» полуокружность с центром в точке (−1; −1) радиуса 3. Преобразуем второе уравнение системы:

Эти условия задают «верхнюю» полуокружность с центром в точке (а; а) радиуса 3. Полуокружности, определяемые уравнениями системы, изображены на рисунке 1, обозначим полуокружности через F и F_a, а их центры — О и О_а.

Данная в условии система имеет единственное решение, если полуокружности F и F_a имеют единственную общую точку. Поэтому это необходимо исследовать при различных значения параметра а. Две «верхние» полуокружности одинакового радиуса либо не имеют общих точек, либо имеют ровно одну общую точку, либо совпадают.

При a = −1 полуокружности F и F_a совпадают, т. е. a = −1 не является искомым.

При a > −1, т. е. точка О_а расположена выше точки О. В этом случае полуокружности F и F_a имеют общую точку, если диаметр BC полуокружности F_a имеет общую точку с полуокружностью F. Крайнее положение диаметра BC, при котором он ещё имеет общую точку c полуокружностью F, является положение на рисунке 2, при этом точка О_а имеет координаты (2; 2), т. е. a = 2. При a > 2 полуокружности F и F_a не имеют общих точек. Таким образом, все значения являются искомыми.

При a Ответ:

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

Произведём замену переменной получим:

При t ≥ 0 функция g(t) убывает, принимая все значения от до При t

1) При a ≥ 0 получаем

решений нет.

Ответ:

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три различных решения.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим три случая.

1) Если то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке Q(0; 1) и радиусом 1.

2) Если то координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению.

3) Если то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом 2.

Таким образом, в первом случае получаем дугу окружности с концами в точках O и A(0; 2), во втором — прямую l, задаваемую уравнением x = 0, в третьем — дугу окружности с концами в точках A и B(0; −2) (см. рисунок).

Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении a оно задаёт прямую m, параллельно прямой y = x или совпадающую с ней.

Прямые m проходят через точки B, O и A при и соответственно.

При и прямые m касаются дуг и соответственно.

Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении a, имеет одну общую точку с дугой при и имеет две общие точки с дугой при имеет одну общую точку с дугой при и имеет две общие точки с дугой при

Число решений исходной системы равно числу точек пересечений прямой l и дуг и с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при

Ответ:

В дано написано найдите 3 решения

Решение соответствует заданному вопросу. Читайте внимательнее

Было бы замечательно, если бы в решении было уточнено, как находились значения параметра а=2√2 и а=1-√2

Вы можете найти их любым доступным Вам путём, хоть через производную, хоть через формулу расстояния от точки до прямой, хоть из геометрических соображений. (есть и другие варианты)

Можете написать, как именно называется способ нахождения через производную? Ничего не могу найти в интернете

при а=2 три решения и эта точка тоже должна быть включена в ответ.

при а=2 два решения: х=-2; х=0

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три различных решения.

Рассмотрим три случая.

1) Если то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке Q(0; 1) и радиусом 1.

2) Если то координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению.

3) Если то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом 2.

Прямые m проходят через точки B, O и A при и соответственно.

При и прямые m касаются дуг и соответственно.

Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении a, имеет одну общую точку с дугой при или имеет две общие точки с дугой при имеет одну общую точку с дугой при или имеет две общие точки с дугой при

Ответ:

Аналоги к заданию № 514524: 514740 514552 514559 Все

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три различных решения.

Рассмотрим три случая.

1) Если то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке Q(0; 2) и радиусом 2.

2) Если то координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению.

3) Если то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом 4.

Таким образом, в первом случае получаем дугу окружности с концами в точках O и A(0; 4), во втором — прямую l, задаваемую уравнением x = 0, в третьем — дугу окружности с концами в точках A и B(0; −4) (см. рисунок).