Нестандартные задачи с параметром
Нестандартные задачи с параметром
Решить уравнение `3sin^5x+4cos^3x=7`.
`3sin^5x =1`, а правая часть `cos3x Последней совокупности уравнений удовлетворяют значения `x=(pin)/2,ninZ`. Так как при этих `x` обращается в нуль и `sin4x`, то из уравнения следует, что должно быть `cosx=0`.
Решить систему уравнений
Вычтем из первого уравнения системы второе. Получим:
По формуле дополнительного угла имеем:
`2sin(x-pi/4)-2sin(y+pi/3)=4` или `sin(x-pi/4)-sin(y+pi/4)=2`
Так как `sin(x-pi/4) `sin(x-pi/4)-sin(y+pi/3)
причём равенство может достигаться только в случае, если
Решая эту систему, получаем
Так как мы решаем уравнение – следствие системы и могли получить лишние корни, то надо сделать проверку. В нашем случае
`sinx=1/(sqrt2)`, `cosx=-1/(sqrt2)`, `siny=-1/2`, `cosy=-(sqrt3)/2`
и, подставляя эти значения в исходную систему, убеждаемся, что она удовлетворяется. Итак,
Решить уравнение `”arctg”3x=arccos8x`.
Напишем ОДЗ `|8x| =0`, то `t=1/9=8x^2`, `x^2=1/72` (ОДЗ удовлетворяется).
Далее нужно делать проверку, т. к. в исходном уравнении углы равны, а мы перешли к уравнению, где тангенсы этих углов равны, т. е. к следствию нашего уравнения. При этом могут появиться посторонние корни.
`x_1=-1/(6sqrt2)` не удовлетворяет уравнению, т. к. `”arctg”3x_1 если `x =0` (`arccosx>=0` всегда).
`arccos8x_2 in (0;pi/2)` и тангенсы у них совпадают.
При каких значениях параметра `a` уравнение `(x-a)arccos(x+3)=0` имеет единственное решение?
Значит, для единственности решения зада чи должно быть либо
`(a+1)/2=-1/2` и `a=-2`, либо `(a+1)/2` не даёт значение `sinx` в интервале
Найти все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `(sinx-cosx)/(sinx-acosx)=a` имеет хотя бы одно решение на отрезке `[pi/2;pi]`.
Уравнение эквивалентно системе
Эта система из однородного уравнения первого порядка и неравенства.
1) Если `cosx=0`, `x in [pi/2;pi]`, т. е. `x=pi/2`, то `sinx=1` и система даёт `a=1`.
2) Если же `cosx!=0`, то делим уравнение и неравенство системы на `cosx`. Получаем систему
Если `a=1`, то системе удовлетворяют все значения из `(pi/2;pi]`.
Чтобы ей удовлетворяла хотя бы одна точка из `(pi/2;pi]`, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось `a+1
Задачи с параметрами, сложные и нестандартные задачи, Козко А.И., Панфёров В.С., Сергеев И.Н., Чирский В.Г., 2016
Задачи с параметрами, сложные и нестандартные задачи, Козко А.И., Панфёров В.С., Сергеев И.Н., Чирский В.Г., 2016.
В небольшой по объёму книге представлены различные постановки и методы решений задач с параметрами. Все задачи снабжены ответами. Даны подробные решения большого числа традиционных задач с параметрами и других оригинальных или нестандартных задач.
Книга поможет читателю не только подготовиться к решению любого типа алгебраических задач ЕГЭ по математике, но и успешно справиться с дополнительными вузовскими вступительными испытаниями или математическими олимпиадами.
Кроме того, в книге собраны необходимые справочные сведения, даны диагностические работы разного уровня, предложены задачи для самостоятельного решения, приведён список дополнительной литературы. Всё это поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения и осуществить самоконтроль знаний по алгебре и началам анализа.
Пособие будет полезно старшеклассникам, их учителям и наставникам.
Примеры.
Найдите все значения a, при каждом из которых общая часть полуинтервала (0; 2] и интервала (a = 1, a): а) является интервалом, б) является полуинтервалом, в) является отрезком, г) пустая.
Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу
Задачи с параметрами, сложные и нестандартные задачи, Козко А.И., Панфёров В.С., Сергеев И.Н., Чирский В.Г., 2016
Задачи с параметрами, сложные и нестандартные задачи, Козко А.И., Панфёров В.С., Сергеев И.Н., Чирский В.Г., 2016.
В небольшой по объёму книге представлены различные постановки и методы решений задач с параметрами. Все задачи снабжены ответами. Даны подробные решения большого числа традиционных задач с параметрами и других оригинальных или нестандартных задач. Книга поможет читателю не только подготовиться к решению любого типа алгебраических задач ЕГЭ по математике, но и успешно справиться с дополнительными вузовскими вступительными испытаниями или математическими олимпиадами. Кроме того, в книге собраны необходимые справочные сведения, даны диагностические работы разного уровня, предложены задачи для самостоятельного решения, приведён список дополнительной литературы. Всё это поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения и осуществить самоконтроль знаний по алгебре и началам анализа. Пособие будет полезно старшеклассникам, их учителям и наставникам. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту.
Тренировочные задачи.
Для каждого а решите уравнение х|х +1| + а = 0.
Для каждого а решите неравенство |х + 2а| ≤ 1/x.
имеет решение и все решения удовлетворяют неравенству 0 ≤ х ≤ 4?
Найдите все значения к, при каждом из которых уравнение 2х-|х-k 2 |=11k-3-|x + 4k|
1) не имеет решений; 2) имеет конечное непустое множество решений.
Содержание
Предисловие
Введение
Диагностическая работа
Подготовительные задачи
Часть 1. Решение задач
§ 1. Простейшие уравнения и неравенства с параметром
Тренировочные задачи к§1
§ 2. Задачи с модулем
Тренировочные задачи к§2
§ 3. Решение обратных задач и задач, в которых параметр рассматривается как переменная
Тренировочные задачи к§3
§ 4. Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного уравнения
Тренировочные задачи к§4
§ 5. Выделение полных квадратов
Тренировочные задачи к§5
§ 6. Разложение на множители
Тренировочные задачи к§6
§ 7. Теорема Виета для уравнений третьей и четвёртой степени
Тренировочные задачи к§7
§8. Задачи на единственность решения или определение количества решений
Тренировочные задачи к§8
§ 9. Задачи с использованием симметрий
Тренировочные задачи к§9
§ 10. Задачи с применением некоторых неравенств
Тренировочные задачи к § 10
§11. Решения, основанные на нахождении наибольших и наименьших значений функций
Тренировочные задачи к § 11
§ 12. Решение задач при помощи графика, часть I
Тренировочные задачи к § 12
§ 13. Решение задач при помощи графика, часть II (более сложные задачи)
Тренировочные задачи к § 13
§ 14. Метод областей
Тренировочные задачи к § 14
§ 15. Задачи на целые числа
Тренировочные задачи к § 15
§ 16. Задачи с целой и дробной частью числа
Тренировочные задачи к § 16
§ 17. Введение новой переменной для решения задач
Тренировочные задачи к § 17
§ 18. Системы уравнений и неравенств
Тренировочные задачи к § 18
§ 19. Использование особенностей функций (монотонность, чётность нечётность, непрерывность)
Тренировочные задачи к § 19
§ 20. Функциональные уравнения и задачи с итерациями
Тренировочные задачи к § 20
§ 21. Задачи с условием для всех значений параметра или переменной
Тренировочные задачи к § 21
§ 22. Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром
Тренировочные задачи к § 22
§ 23. Геометрические задачи с элементами алгебры
Тренировочные задачи к§23
§ 24. Задачи алгебры с использованием геометрии
Тренировочные задачи к § 24
Часть 2. Диагностические работы и задачи для самостоятельного решения
Диагностическая работа 1
Диагностическая работа 2
Диагностическая работа 3
Диагностическая работа 4
Диагностическая работа 5
Диагностическая работа 6
Задачи для самостоятельного решения
Ответы к диагностическим работам
Литература.
Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу
Параметры и Нестандартные задачи!
Тайна задачи 19 открыта (читай письмо)! Розыгрыш видеокурса по 19 сегодня на стриме!
Задача 19 полна загадок и тайн. Но главная тайна – зачем она все-таки нужна?
Смысл задачи 19
И зачем вот это всё включают в вариант ЕГЭ, но не включают в школьную программу?
Недавно мы получили ответ на этот вопрос! Выпускник нашего онлайн-курса Рустам Каримов, сейчас второкурсник Высшей Школы Экономики, рассказал, что на его Факультете компьютерных наук умение решать задачу 19 оказалось очень полезным. Что задача 19 – это основы дискретной математики и теории чисел.
Скоро на YouTube-канале Анны Малковой – интервью с Рустамом Каримовым. О специальности, где надо набрать 308 баллов для поступления. О лекциях на английском языке, которые читают преподаватели из Лондона и Мадрида, и о фехтовании на световых мечах – в качестве хобби. Подпишитесь на канал, чтобы не пропустить!
Вот, оказывается, зачем нужна задача 19!
Не только для того, чтобы получить 4 первичных балла и поступить туда, куда мечтаешь. Но и для того, чтобы выучить хотя бы несколько слов особого, математического языка, на котором читают лекции профессора из Лондона и Мадрида.
Стрим и розыгрыш курса!
Задача с параметрами также оценивается в 4 первичных балла.
Мы займемся этими чудными задачами сегодня на стриме. Начало в 17.00 по московскому времени.
Стрим стоит посмотреть в прямом эфире еще и потому, что на нем мы объявим акцию на самый дорогой наш видеокурс – то есть на полный курс по задаче 19. А еще мы разыграем один видеокурс! Так что регистрируйтесь!
Встречаемся сегодня в 17.00 по московскому времени онлайн!
Онлайн-курсы по математике для 10, 11 классов и учителей.
Онлайн-курсы по русскому для абитуриентов и учителей
Задачи с параметрами. Учимся нестандартно мыслить!
Задачи с параметрами — это высший пилотаж на ОГЭ и ЕГЭ, а также на вступительных экзаменах во многие престижные ВУЗы! Эти задачи очень красивые и здорово развивают логическое мышление и умение нестандартно мыслить! Но ученика, который берётся за подобную задачу, поджидает несколько трудностей.
Трудность первая. В большинстве школ (часто даже физико-математических) такие задачи решать не учат. Совсем. Поэтому среднестатистический ученик, который не может себе позволить индивидуальные занятия с хорошим репетитором, вынужден действовать на свой страх и риск. И я бы не сказал, что это легко, поскольку очень часто даже сама формулировка такой задачи может вогнать, что называется, в ступор. Например, в задаче сказано: «Решить уравнение такое-то для любого значения параметра a». И многие ученики при виде такой формулировки начинают задавать преподавателю вопросы типа: «Это как? Подставить какое-нибудь а и решить?»
Приведённый вопрос наглядно иллюстрирует и вторую трудность в решении подобных задач – логическую. Увы, но хорошее логическое мышление от природы не даётся, и его у себя надо развивать. Даже людям, способным к математике. Необходимо морально подготовиться к серьёзной борьбе с собой. Ну и приведённый материал необходимо освоить идеально. И обязательно решить домашнее задание в конце урока. Зато результат со временем окупится с лихвой.)
Аналитические методы решения задач с параметрами.
Квадратные уравнения с параметром. Исследование дискриминанта. Теорема Виета.
Ограниченность. Метод мажорант (метод оценок).
Инвариантность. Метод симметричных решений.
Графические методы решения задач с параметрами.