Запишите в виде равенства чему равна абсолютная величина нулевого вектора

Вектор. Виды векторов.

Вектор — в самом элементарном случае это математический объект, который характеризуется

величиной и направлением.

В геометрии вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая

из его граничных точек является началом, а какая — концом.

У вектора есть длина и определенное направление. Графически вектора изображаются как

направленные отрезки прямой конкретной длины. Длина вектора – это и есть длина этого отрезка.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии по обоим сторонам: |AB|.

Как видно на рисунке, начало отрезка – это точка А, концом отрезка является

точка В, а непосредственно вектор обозначен через . У направления

вектора существенное значение, если переместить стрелку на другую

сторону отрезка, то получим вектор, но абсолютно другой. Понятие вектора

удобно сравнивать с движением физического тела: подумайте, ехать на

рыбалку и с рыбалки – разница огромная.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не имеет значения — так как направления их могут быть

разными. Сравнивают лишь длины векторов. Зато есть понятие равенства для векторов.

Виды векторов.

Единичным называется вектор, длина которого равна 1.

Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором.

У такого вектора конец и начало совпадают.

Нулевой вектор обычно обозначается как . Длина нулевого вектора, или его модуль равен нулю.

Коллинеарные вектора – вектора, которые параллельны одной прямой

или которые лежат на одной прямой.

Сонаправленные вектора. Два коллинеарных вектора a и b называются

сонаправленными векторами только тогда, когда их направления

соответствуют друг другу: a↑↑b

Противоположно направленные вектора – два коллинеарных вектора

a и b называются противоположно направленными векторами, только

когда они направлены в разные стороны: a↑↓b.

Компланарные вектора – это те вектора, которые параллельны одной

плоскости или те, которые лежат на общей плоскости.

В любое мгновение существует плоскость одновременно параллельную

двум любым векторам, поэтому два произвольных вектора являются

Равные вектора. Вектора a и b будут равными, если они будут лежать на

одной либо параллельных прямых и их направления и длины одинаковые.

То есть, такой вектор можно перенести параллельно ему в каждое место

Таким образом, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые

и имеют одинаковые длины:

Для координатного представления векторов огромное значение

оказывает понятие проекции вектора на ось (направленную

прямую).

проекциями точек начала и конца вектора на заданную прямую,

при этом проекции добавляется знак “+”, но когда направление

проекции соответственно направлению оси, иначе — знак “–”.

Проекция – это длина заданного вектора, умноженная на cos угла исходного вектора и оси; проекция

вектора на ось, которая перпендикулярна ему = 0.

Когда работают с векторами, зачастую вводят так называемую

декартову систему координат и уже в этой системе находят

координаты вектора по базисным векторам.

Разложение по базису геометрически можно показать проекцией

вектора на координатные оси. Когда известны координаты начала и

конца вектора, то координаты данного вектора получают вычитая

из координат конца вектора координат начала вектора.

За базис зачастую выбираются координатные орты, которые обозначаются как , соответственно

осям x, y, z. Исходя из этого, вектор можно записать в таком виде:

Каждое геометрическое свойство есть возможность записать в координатах, и далее исследование

из геометрического переходит в алгебраическое и на этом этапе в основном упрощается. Обратное,

кстати, неверно: не у любого соотношения в координатах есть геометрическое толкование, но только

те соотношения, которые выполняются в любой декартовой системе координат (инвариантные).

Источник

ДИКТАНТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ 9 КЛАСС

Математические диктанты по геометрии для 9 класса

Математические диктанты по геометрии.

УМК Л.С. Атанасян «Геометрия. 9 класс».

В данной работе представлены математические диктанты по геометрии к УМК Л.С.Атанасяна «Геометрия 7-9» для учащихся 9 классов по всем основным темам.

Математический диктант – хорошо известная форма контроля знаний. Математический диктант — это один из способов организации самостоятельной деятельности учащихся. Продолжительность диктанта от 5 до 10 минут.

Математический диктант в старших классах – это альтернатива устному счету. Поэту проводить его рекомендуется в самом начале урока перед изложением новой темы. Отсюда возникает основное требование к содержанию диктанта: ответы на вопросы должны показать, насколько усвоен обязательный минимум знаний по изученной ранее теме.

Диктант 1. « Абсолютная величина и направление вектора.

2.Запишите обозначение вектора с концом в точке М и началом в точке Р.

2. Запишите обозначение вектора с концом в точке А и началом в точке С.

3.Изобразите два одинаково направленных, но не равных вектора.

3.Запишите в виде равенства, чему равна абсолютная величина нулевого вектора.

4.Что можно сказать о направлении двух равных векторов?

5.Запишите в виде равенства, чему равна абсолютная величина нулевого вектора.

5. Что можно сказать о направлении двух равных векторов?

6. Изобразите вектор НС и точку Е. Отложите от точки Е вектор, равный НС.

6. Изобразите два одинаково направленных, но не равных вектора.

Диктант 2. «Сложение векторов. Умножение вектора на число. Коллинеарные векторы».

5. Векторы b и d коллинеарны, но не одинаково направлены. Изобразите такие векторы.

6.Изобразите вектор РТ и вектор, равный 2РТ.

7.Векторы а и b коллинеарны, но не одинаково направлены. Изобразите такие векторы.

Тема «Метод координат».

Диктант 3. «Координаты вектора.

Диктант 4. Координаты середины отрезка. Длина вектора. Расстояние между двумя точками.

2. Дано уравнение окружности (х+3) 2 +(у-2) 2 =49.

Запишите координаты центра этой окружности и её радиус.

2. Дано уравнение окружности (х-3) 2 +(у+2) 2 =25.

Запишите координаты центра этой окружности и её радиус.

3. Каково взаимное расположение окружности (х+3) 2 +(у-2) 2 =7 и точки А(-2;4)?

3. Каково взаимное расположение окружности

(х-3) 2 +(у+2) 2 =5 и точки А(2;0)?

4.Напишите уравнение окружности радиуса 3 с центром О(0;2).

Напишите уравнение окружности с центром О (9;-2) и радиусом 5.

Диктант 6. «Уравнение прямой».

2.Начертите прямую, заданную уравнением

2.Начертите прямую, заданную уравнением

3.Запишите уравнение какой-либо прямой параллельной оси Х.

3.Запишите уравнение какой-либо прямой, проходящей через начало координат.

4. Чему равен угловой коэффициент прямой 2х+5у-8=0?

4. Чему равен угловой коэффициент прямой 4х+8у-7=0?

5. Каково взаимное расположение окружности х 2 +у 2 =25 и прямой у=5?

Тема «Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов».

Тема «Длина окружности. Площадь круга».

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-861746

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

До конца 2024 года в РФ построят около 1 300 школ

Время чтения: 1 минута

Школьники из Москвы выступят на Международной олимпиаде мегаполисов

Время чтения: 3 минуты

Утверждены сроки заключительного этапа ВОШ

Время чтения: 1 минута

В России планируют создавать пространства для подростков

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Диктант по геометрии «Абсолютная величина и направление вектора»

Проверочный диктант по геометрии в 8 классе «Абсолютная величина и направление вектора» предназначен для контроля усвоения отдельного фрагмента темы «Векторы» ( по учебнику А.В. Погорелова).

Проверка диктанта может проходить по-разному. Это может быть и самопроверка, и взаимопроверка.

Просмотр содержимого документа
«Диктант по геометрии «Абсолютная величина и направление вектора» »

МБОУ «Топкановская основная общеобразовательная школа»

Каширского муниципального района

Диктант по геометрии

«Абсолютная величина и направление вектора»

Гусак Елена Николаевна

2014-2015 учебный год

Запишите кратко вектор .

Запишите обозначение вектора с концом в точке K и началом в точке M.

Изобразите два не равных, но одинаково направленных вектора.

Если два вектора равны, то что можно сказать о их направлении?

Чему равна абсолютная величина нулевого вектора? Ответ запишите в виде равенства.

Изобразите вектор и точку A. Отложите от A вектор равный .

Запишите кратко вектор .

Запишите обозначение вектора с концом в точке F и началом в точке T.

Чему равна абсолютная величина нулевого вектора? Ответ запишите в виде равенства.

Изобразите вектор и точку O. Отложите от O вектор равный .

Если два вектора равны, то что можно сказать о их направлении?

Изобразите два не равных, но одинаково направленных вектора.

Источник

Планиметрия. Страница 8

1.Вектор и его абсолютная величина

Вектором называется направленный отрезок определенной длины. Любой вектор имеет начальную и конечную точки. Начало и конец вектора обозначаются заглавными буквами, например вектор

. Сам вектор обозначается прописной буквой, например:

. Каждый вектор имеет определенную длину и направление. Например, вектора

имеют одинаковое направление. А вектора

Абсолютной величиной вектора или модулем вектора называется длина отрезка, представляющего собой вектор.

Если начало вектора совпадает с его концом, то такой вектор называется нулевым.

Если два вектора имеют одинаковое направление и равные абсолютные величины, то такие векторы называются равными.

6.Пример 1

Доказательство:

Пусть ABCD данный параллелограмм (Рис.6). Необходимо доказать, что вектора

параллельному переносу таким образом, чтобы точка А совпала с точкой D. При таком перемещении точка А смещается по прямой AD и переходит в точку D. Это значит, что точка В переместится по параллельной прямой ВС в точку С.

Таким образом, при параллельном переносе прямая АВ переходит в параллельную прямую DC, а вектор

переходит в вектор

. А это значит, что эти вектора равны.

Действительно, так как при перемещении прямая АВ переходит в параллельную прямую DC, а точка А переходит в точку D, то на луче DC можно отложить только один вектор, равный вектору

Пример 2

Даны точки А(1;1), B(3;1), C(2;-2), D(4;-2). Докажите равенство векторов

Доказательство:

Найдем координаты векторов

Таким образом, координаты векторов следующие:

А так как равные вектора имеют равные соответствующие координаты и x_AB = x_CD, y_AB = y_CD, то вектора

Рис.7 Задача. Даны точки А(1;1), B(3;1), C(2;-2), D(4;-2).

Пример 3

В треугольнике АВС проведена медиана AM. Докажите, что

Доказательство:

, равный и параллельный вектору

от точки С. И отложим вектор

, равный и параллельный вектору

Тодга получим параллелограмм, в котором вектор

. А так как диагонали параллелограмма пересекаются в точке М и делятся этой точкой пополам, то

Отсюда можно сделать вывод: так как

Рис.8 Задача. В треугольнике АВС проведена медиана AM.

Пример 4

и его абсолютную величину.

Решение:

, то найдем его координаты:

Теперь найдем его абсолютную величину:

| =

(-3;-2). » alt=»Задача. Даны векторы

Рис.9 Задача. Даны векторы

Пример 5

Найдите угол между векторами

Решение:

По определению, скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. Отсюда можно найти косинус угла между ними по формуле:

Следовательно, cos α = 2 / 2 = 1 /

Таким образом, угол между векторами

(1;-1) и b (2;0).» alt=»Задача. Найдите угол между векторами

(1;-1) и b (2;0).» src=»http://www.mathtask.ru/page-0056/pl21.png»/>

Рис.10 Задача. Найдите угол между векторами

Источник

Диктант геометрия 9класс

Просмотр содержимого документа
«Диктант геометрия 9класс»

Математические диктанты по геометрии для 9 класса

Диктант 1. « Абсолютная величина и направление вектора.

1.Запишите кратко: вектор a.

1.Запишите кратко: вектор b.

2.Запишите обозначение вектора с концом в точке М и началом в точке Р.

2. Запишите обозначение вектора с концом в точке А и началом в точке С.

3.Изобразите два одинаково направленных, но не равных вектора.

3.Запишите в виде равенства, чему равна абсолютная величина нулевого вектора.

4.Что можно сказать о направлении двух равных векторов?

5.Запишите в виде равенства, чему равна абсолютная величина нулевого вектора.

5. Что можно сказать о направлении двух равных векторов?

6. Изобразите вектор НС и точку Е. Отложите от точки Е вектор, равный НС.

6. Изобразите два одинаково направленных, но не равных вектора.

Диктант 2. «Сложение векторов. Умножение вектора на число. Коллинеарные векторы».

1.Найдите сумму векторов ВС и СА.

1.Найдите сумму векторов МЕ и МА.

2.Найдите разность векторов МК и МР.

2.Найдите разность векторов ВК и ВЕ.

3. Изобразите векторы ВС и ВК и их сумму.

3. Изобразите векторы РС и РК и их сумму.

4. ВСМК – параллелограмм. Чему равна сумма векоров ВС и ВК?

4. АВСР – параллелограмм. Чему равна сумма векоров АВ и АР?

5. Векторы b и d коллинеарны, но не одинаково направлены. Изобразите такие векторы.

6.Изобразите вектор РТ и вектор, равный 2РТ.

7.Векторы а и b коллинеарны, но не одинаково направлены. Изобразите такие векторы.

Тема «Метод координат».

Диктант 3. «Координаты вектора.

1. Чему равна абсолютная величина вектора с координатами (-3;-4)?

2. Чему равна абсолютная величина вектора с координатами (6;-8)?

3. В координатной плоскости отмечены точки А(2;3), В(-1;2), С(0;1), Р(-3;0). Равны ли векторы АВ и СР?

3. Какие координаты имеет произведение вектора с координатами (-4;-3) на число 5?

4. Найдите координаты вектора с, равного сумме векторов а(2;-3) и n(1;1).

4. В координатной плоскости отмечены точки А(5;-1), В(4;3), С(1;0), Р(0;4). Равны ли векторы АВ и СР?

5. Найдите координаты вектора с, равного сумме векторов а(-2;3) и n(1;3).

6. Координаты вектора m(2;5), а координаты коллинеарного ему вектора n(-4;x). Найдите координату x.

6. Координаты вектора m (4;-2). Найдите ординату коллинеарного ему вектора с абсциссой 8.

Диктант 4. Координаты середины отрезка. Длина вектора. Расстояние между двумя точками.

1.Найдите координаты середины отрезка АВ, если А(-3;7), В(-7;5).

1. Найдите длину отрезка СМ, если точка С имеет координаты (2;7), точка М(-2;7)

2.А(4;3) – середина отрезка РМ. Найдите координаты точки Р, если координаты точки М(-7; 8).

2.Найдите координаты середины отрезка АВ, если А(2;-3), В(-3;1).

3. Найдите длину отрезка СМ, если точка С имеет координаты (-5;.1), точка М(-5;-7)

3.Р(-3;-2) – середина отрезка КМ. Найдите координаты точки К, если координаты точки М(4;7).

4.Найдите периметр квадрата МРСЕ, если точка М имеет координаты(1;1), точка Р имеет координаты(6;1).

4.Найдите периметр равностороннего треугольника МРС, если точка М имеет координаты(7;4), точка Р имеет координаты(2;4).

Диктант 5. «Уравнение окружности».

1.Начертите окружность, заданную уравнением х 2 +у 2 =16.

1.Начертите окружность, заданную уравнением х 2 +у 2 =9.

2. Дано уравнение окружности (х+3) 2 +(у-2) 2 =49.

Запишите координаты центра этой окружности и её радиус.

2. Дано уравнение окружности (х-3) 2 +(у+2) 2 =25.

Запишите координаты центра этой окружности и её радиус.

3. Каково взаимное расположение окружности (х+3) 2 +(у-2) 2 =7 и точки А(-2;4)?

3. Каково взаимное расположение окружности

(х-3) 2 +(у+2) 2 =5 и точки А(2;0)?

4.Напишите уравнение окружности радиуса 3 с центром О(0;2).

Напишите уравнение окружности с центром О (9;-2) и радиусом 5.

Диктант 6. «Уравнение прямой».

1.Является ли уравнение 3+4y=0 уравнением прямой?

1.Является ли уравнение 3х+4=0 уравнением прямой?

2.Начертите прямую, заданную уравнением

2.Начертите прямую, заданную уравнением

3.Запишите уравнение какой-либо прямой параллельной оси Х.

3.Запишите уравнение какой-либо прямой, проходящей через начало координат.

4. Чему равен угловой коэффициент прямой 2х+5у-8=0?

4. Чему равен угловой коэффициент прямой 4х+8у-7=0?

5. Каково взаимное расположение окружности х 2 +у 2 =25 и прямой у=5?

Тема «Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов».

Диктант 7. «Решение треугольников».

1.Дан треугольник CDM. Пользуясь теоремой косинусов, выразите квадрат стороны СМ.

1.Дан треугольник АCD. Пользуясь теоремой косинусов, выразите квадрат стороны АС.

2.С помощью теоремы косинусов выразите косинус угла С треугольника АВС.

2.С помощью теоремы косинусов выразите косинус угла А треугольника ВАС.

3.Запишите теорему синусов для треугольника ОРЕ.

3.Запишите теорему синусов для треугольника КМТ.

Диктант 8. «Скалярное произведение векторов».

1.В квадрате АBCD найдите угол между векторами АВ и АС.

1.В ромбе АBCD найдите угол между векторами ВD и АС.

3.Если модуль вектора a равен 1, модуль вектора b равен 3, а угол между ними 30°, то скалярное произведение вектора a+2b и вектора a равно…

3.Если модуль вектора a равен 1, модуль вектора b равен 3, а угол между ними 30°, то скалярное произведение вектора 2a+b и вектора b равно…

4.Докажите, что вектор a (2;3) и b (-3;2) перпендикулярны.

4. Докажите, что вектор a (2;3) и b (-3;2) перпендикулярны.

Тема «Длина окружности. Площадь круга».

Диктант 9. «Длина окружности».

1.Вычислите длину окружности радиуса 3см.

1.Вычислите радиус окружности, если длина этой окружности равна 62,8м.

2.Вычислите диаметр окружности, если длина этой окружности равна 3140см.

2.Вычислите длину окружности, если её диаметр равен 16дм.

3.Как изменится длина окружности, если её радиус увеличить в 4 раза.

3.Найти длину окружности, вписанной в квадрат со сторонний 8.

4.Найти длину окружности, описанной около квадрата со сторонний 3√2.

4.Как изменится длина окружности, если её радиус уменьшить в 5 раза.

5.Вычислите длину дуги окружности, если её градусная мера равна 60 радиус окружности равен 15.

5.Вычислите длину дуги окружности радиуса 12, если её градусная мера равна 45 .

Источник

• через какое время делают повторное эко →

Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 8
Рис.1 Обозначение векторов. Координаты вектора Любой вектор имеет свои координаты. Координатами вектора называются числа x2-x1 и y2-y1. Например, координаты вектора с начальной точкой А (1;1) и конечной точкой В (4;3) будут: Координаты нулевого вектора равны нулю. Два вектора называются равными, если у них соответствующие координаты равны.	Рис.2 Координаты вектора. 2.Сложение векторов Пусть заданы два вектора со своими координатами (b1;b2). Тогда суммой двух векторов будет вектор с координатами В векторной форме можно записать так: Для сложения векторов используются два метода: метод треугольника и метод параллелограмма. Для сложения векторов методом треугольника необходимо перенести вектор параллельным переносом так, чтобы конец вектора совпадал с началом вектора . Тогда начало вектора и будет сумма векторов По методу параллелограмма, если два вектора имеют общее начало, то суммой двух векторов будет диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. вектор Разностью двух векторов называется такой вектор , который нужно прибавить к вектору , чтобы получить вектор Рис.3 Сложение векторов. 3.Умножение вектора на число Любой вектор с координатами (x;y) можно умножить на простое число, например λ. (Рис.3) Тогда произведением вектора на число λ будет называться вектор с координатами (λx;λy). Абсолютная величина вектора будет равна: Для любых двух векторов число λ можно вынести за скобку λ ( Если λ > 0, то направление вектора не изменяется, а если λ 2 и называется скалярным квадратом. Отсюда следует, что Теорема. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. Доказательство. Пусть даны два вектора а и b и угол между ними α. Тогда квадрат суммы двух векторов равен: Следовательно, скалярное произведение двух векторов не зависит от выбора системы координат, а зависит только от их абсолютных величин. (Рис.5) Так как координаты вектора (b cos α; b sin α), то скалярное произведение двух векторов	Рис.5 Скалярное произведение векторов. Отсюда вытекает следующий вывод: если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.